湖南師大附中數學競賽組
自西元前3世紀古希臘數學家歐幾里得(euclid)的《幾何原本》問世以來, 平面幾何就作為數學的乙個分支而存在於世. 由於平面幾何有其鮮明的的直覺與嚴謹、精確、簡明的語言, 並且經常出現一些極具挑戰性的問題, 因而這一古老的數學分支一直保持著青春的活力, 以極具魅力的姿態展現在我們面前. 世界各國無不將平面幾何作為培養本國公民的邏輯思維能力、空間想象能力和推理論證能力的重要題材.
由匈牙利於2023年首開先河的國內外各級數學競賽活動更是將平面幾何作為常規的競賽內容, 並且從2023年開始舉辦的每年一屆(2023年因特殊原因中斷)的國際中學生數學競賽(通稱國際數學奧林匹克)中, 在同一屆出現兩道平面幾何題的情況已是屢見不鮮.
但是, 傳統的平面幾何都是採用公理化方法處理的, 這種方法將平面圖形視為靜止的圖形, 其優點是便於掌握幾何圖形本身的內在規律. 但用這種靜止的觀點研究平面幾何的乙個最大缺陷是: 難以發現不同幾何事實之間的聯絡.
欲深刻揭示客觀事物之間的聯絡, 掌握運動的事物的空間形式最本質的東西——在運動中始終保持不變的性質, 僅用靜止的觀點是遠遠不夠的, 必須動靜結合, 用運動、變化的觀點來研究客觀事物的運動形式和變化規律. 就平面幾何而言, 按照德國數學家克萊因(f. klein)於2023年提出的觀點, 平面幾何是研究平面圖形在運動、變化過程中的不變性質和不變數的科學.
幾何變換作為一種現代數學思想方法, 正是採用運動、變化的觀點來研究平面幾何的. 面對乙個平面幾何問題, 幾何變換往往能有效地幫助我們順利地實現由條件到結論的邏輯溝通. 將幾何圖形按照某種法則或規則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.
平面幾何中的幾何變換主要有合同變換、相似變換和反演變換等.
1 知識方法
1.1 合同變換
在乙個幾何變換下, 如果任意兩個之間的距離等於變化後的兩點之間的距離, 則稱是乙個合同變換.
合同變換只改變圖形的相對位置, 不改變其性質和大小. 合同變換有三種基本形式: 平移變換, 軸反射變換, 旋轉變換.
(一) 平移變換
將平面圖形上的每乙個點都按乙個定方向移動定距離的變換叫作平移變換. 記為, 定方向稱為平移方向, 定距離稱為平移距離.
顯然, 在平移變換下, 兩對應線段平行(或共線)且相等. 因此, 凡已知條件中含有平行線段, 特別是含有相等線段的平面幾何問題, 往往可用平移變換簡單處理. 平移可移線段, 也可移角或整個圖形.
例1.1 平面上乙個單位正方形與距離為1的兩條平行線均相交, 使得正方形被兩條平行線截出兩個三角形(在兩條平行線之外). 證明:
這兩個三角形的周長之和與正方形在平面上的位置無關. (第15屆亞洲—太平洋數學奧林匹克, 2003)
證明: 如圖所示, 設直線//,與的距離為1, 單位正方形的邊分別與交於, 邊分別與交於. 作平移變換, 設, 則在上,過正方形的頂點.
因點a到的距離等於ab, 所以決不會與邊相交. 設與邊分別交於, 則有進而,於是
過頂點作的垂線, 設垂足為h, 則. 由於, 所以, 點a是的, 且分別為的圓與三邊的切點, 所以, 從而, 即. 這就是說,的周長與的周長之和等於2.
它與正方形在平面上的位置無關.
(二) 軸反射變換
如果直線垂直平分連線兩點的線段, 則稱兩點關於直線對稱. 其中叫作點關於直線的對稱點.
把平面上圖形中任一點都變到它關於定直線的對稱點的變換, 叫作關於直線的軸反射變換, 記為, 直線叫作反射軸.
顯然, 在軸反射變換下, 對應線段相等, 兩對應直線或者相交於反射軸上, 或者與反射軸平行. 通過軸反射變換構成(或部分構成)軸對稱圖形是處理平面幾何問題的重要思想方法.
例1.2 在銳角中, ,是邊bc上的高, p是線段ad上一點. 過p作, 垂足為e, 作, 垂足為f.
分別是的外心. 求證:四點共圓的充要條件為是的垂心.
(全國高中數學聯賽, 2007)
證明: 如圖所示, 由知四點共圓, 且bp為其直徑, 所以的外心為的中點. 同理,四點共圓, 且是的中點. 因此, //, 所以.
充分性. 設是的垂心, 由於, 所以四點共線,四點共線,四點共圓. 於是由得, 故四點共圓.
必要性. 因為是的斜邊的中點,是的斜邊的中點, 所以,. 因為四點共圓, 所以. 於是
這樣, 若四點共圓, 則. 因而有
再注意, 即得, 也就是.
作反射變換, 設, 因, , 所以, 於是**段上, 且. 因, 所以, 從而四點共圓. 於是, 所以, 所以,. 而, 故是的垂心.
(三) 旋轉變換
將平面上圖形中每乙個點都繞乙個定點按定方向(逆時針或順時針)轉動定角的變換, 叫作旋轉變換, 記為. 點叫作旋轉中心,叫作轉幅或旋轉角.
易知, 在旋轉變換下, 兩對應線段相等, 兩對應直線的交角等於轉幅. 對於已知條件中含有正方形或等腰三角形或其它特殊圖形問題, 往往可運用旋轉變換來處理.
特別是在轉幅為的旋轉變換下, 兩對應線段垂直且相等. 而轉幅為的旋轉變換稱為中心對稱變換, 記為. 在中心對稱變換下, 任意一對對應點的連線段都通過旋轉中心(此時稱為對稱中心), 且被對稱中心所平分.
由於中心對稱變換的這一特殊性, 凡是與中點有關的平面幾何問題, 我們可以考慮用中心對稱變換處理.
例1.3 設圓與圓交於兩點. 圓在a點的切線交圓於c, 圓在a點的切線交圓於d. m是cd的中點. 求證:. (中國國家隊培訓, 2007)
證明: 如圖所示, 作中心對稱變換, 設, 則四邊形是乙個平行四邊形. 設的延長線交於, 則.
又, 所以, 於是. 兩式相乘, 並注意到, 得. 而, 所以, 則, 故.
例1.4 在中, ,分別為直線上的點, 且//, //,為的外接圓上的中點. 求證:. (伊朗國家隊選拔考試, 2005)
證明: 如圖所示, 因, //, 所以. 又四邊形顯然為平行四邊形, 則.
於是, 設的外心為, 作旋轉變換(其中,表示始邊為射線, 終邊為射線的有向角), 則且, 所以. 因此, 設的中點為, 則.
另一方面, 因四邊形是平行四邊形, 所以也是的中點. 又,為的外接圓上的中點, 所以為的外接圓的直徑, 從而為的中點, 故//. 於是由, 即知.
1.2 相似變換
在乙個幾何變換下, 若對於平面上任意兩點, 以及對應點, 總有(為非零實數), 則稱這個變換是乙個相似變換. 非零實數叫作相似比, 相似比為的相似變換記為.
顯然, 相似變換既改變圖形的相對位置, 也改變圖形的大小, 但不改變圖形的形狀. 當時,就是合同變換. 討論相似變換時, 常討論位似變換、位似旋轉變換以及位似軸反射變換.
(一) 位似變換
設是平面上一定點,是平面上的變換, 若對於任一雙對應點, 都有(為非零實數), 則稱為位似變換. 記為,叫作位似中心,叫作相似比或位似係數.與在點的同側時, 此時為外分點, 此種變換稱為正位似(或順位似);與在點的兩側時, 此時為內分點, 此種變換稱為反位似(或逆位似).
顯然, 位似變換是特殊的相似變換. 有此問題借助於位似變換求解比相似變換更簡潔.
例1.5 設的內切圓與邊分別切於點. 求證:
的外心, 內心與的垂心三點共線. (第12屆伊朗數學奧林匹克, 1995; 第97屆匈牙利數學奧林匹克, 1997; 第51屆保加利亞數學奧林匹克, 2002)
證法一: 如圖(1)所示, 設的內切圓半徑與外接圓半徑分別為,. 作位似變換, 設, 則.
再設的外接圓上的(不含點)的中點為, 則//且, 所以四邊形是平行四邊形, 於是//, 注意到共線, 所以//. 又, 所以. 但//, 從而.
同理, , 所以是的垂心, 因此. 故三點共線, 且.
證法二: 如圖(2)所示, 設直線分別與的內切圓交於另一點, 則的三邊分別垂直平分, 所以, 由此可知//. 同樣地因此與是位似的.
而分別是與的外心,分別是與的內心, 故三點共線, 且.
(二) 位似旋轉變換
具有共同中心的位似變換和旋轉變換復合便得位似旋轉變換, 即.
例1.6 設圓與圓交於兩點, 一直線過點分別與圓、圓交於另一點和, 點分別是線段上的點, 且//, //. 再設點分別在圓的(不含點)上和圓的(不含點)上, 且,.
求證:. (第43屆imo預選題, 2004; 第22屆伊朗數學奧林匹克, 2004)
證明: 如圖所示, 設圓與圓的半徑分別為, 作位似旋轉變換, 因割線過兩圓的另乙個交點, 所以. 設, 則在上,在圓上, 且, , 所以,.
設的延長線交圓於l, 則有, 而, 於是. 又皆為直角, 因此. 但由//, //知, 四邊形是平行四邊形, 所以,. 於是, 易知, 因此. 再注意到, 即知.
(三) 位似軸反射變換
就目前的情況來看, 位似軸反射變換的應用似乎尚不及其他幾種幾何變換. 但作為一種不可或缺的幾何變換, 應該有其廣泛的用武之地. 實際上, 對於梯形、圓內接四邊形、對角線等問題, 都有可能用得上位似軸反射變換.
例1.7 已知圓內接凸四邊形, f是ac與bd的交點, e是ad與bc的交點,分別是和的中點. 求證:. (第46屆保加利亞數學奧林匹克(第3輪), 1997)
證明: 如圖所示, 設, 以為位似中心,為位似比作位似軸反射變換, 使. 設, 則.
同樣地, 如果以為位似比作位似軸反射變換, 使. 設, 則, 且都在關於的平分線對稱的直線上, 所以
另一方面, 由,知, 從而, 所以四邊形是乙個平行四邊形, 因此是的中點. 同理,是的中點. 於是, 故
1.3 反演變換
設o是平面上一定點, 對於上任意異於點的點, 有在oa所在直線上的點, 滿足, 則稱法則為平面上的反演變換, 記為. 其中為反演中心或者反演極,為反演冪;與在點的兩側時, 否則;與為此反演變換下的一對反演點(或反點), 顯然與互為反點(但點的反點不存在或為無窮遠點); 點集的像集稱為此反演變換下的反演形(或反形).
由於時的反演變換是反演變換和以為中心的中心對稱變換的復合, 我們只就討論反演變換即可. 令, 則. 此時, 反演變換的幾何意義則可知如圖所示, 並稱以為圓心,為半徑的圓為反演變換的基圓.
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