眼科病床的合理安排
一問題重述
某醫院眼科門診每天開放，共有79個病床床位，眼科手術有：外傷，視網膜疾病，白內障和青光眼四種。外傷屬急症，就診時只要有空床就安排住院，第二天安排手術。
白內障手術前準備一到兩天，手術安排在周一和週三，如果是雙眼，周一做第一只，週三做第二隻。另外兩種病手術前準備兩到三天，考慮到醫生資源，不安排在周一和週三。對於外傷也可安排在周一週三。
目前該住院部對全體非急症病人是按照fcfs（first come, first serve）規則安排住院，但等待住院病人佇列卻越來越長，我們需要通過數學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫院資源的有效利用。我們還需要解決以下問題：
一、分析確定合理的評價指標體系，評價用fcfs（first come, first serve）規則的病床安排模型的優劣。
二、就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排模型，根據擬出的模型確定第二天應該安排哪些病人住院。並用評價體系評價我們建立的模型。
三、運用模型在病人門診時，就告知其住院的時間區間。
四、該住院部周
六、週日不安排手術，重新考慮問題二，並對醫院的手術時間做出相應調整。
五、醫院為了便於管理，病床安排採取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，建立使得所有病人在系統內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。
二：問題分析：
病床安排問題是乙個複雜的問題。從題目中所給**得出，每天都有7到12個病號就診，平均每天出院的人數為3到4人，如果按fcfs（first come, first serve）規則的病床安排模型，就會造成等待入院人數越來越多，給病人入院治病帶來不便。
第一步：分析確定病床安排模型的評價標準體系。
一方面，病人入院前等待入院的患者越多，每位病人的平均等待時間越長，給病人帶來的損失越大；病人入院到出院時間消耗過長，造成醫院資源不能有效周轉和利用。對每一天這兩部分的消耗求和，作為乙個評價體系。控制這兩部分的和在乙個範圍內，若超出此範圍則說明模型有待改進。
於是，病人等待入院造成的損失和病人住院費用兩部分花銷作為評價體系中的乙個指標。
另一方面，醫院床位的利用情況是反映醫院床位利用床位的重要指標，它主要包括床位周轉次數和床位使用率，這兩個指標從不同情況反映病床利用情況，如果單一的從兩項指標分析床位的工作效率，就很難看出病床運轉和使用過程中存在的問題。「歸一分析法」就是將病床使用率和病床周轉次數綜合起來，建立床位工作效率指數模型。因此床位工作效率指數是乙個能較好反映床位工作情況的綜合指標，故選用此方法作為評價體系中的另乙個指標。
第二步：通過數學建模來解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫院資源的有效利用，並解決問題二和問題三。
根據患者病情情況不同，可以把四類患者分為急症、單眼白內障、雙眼白內障、青光眼與視網膜疾病四級型別考慮，優先順序型別用標記。考慮到病床安排系統為搶占型優先權服務機制下多類排隊網路，由79張病床服務組成，每個病床服務有乙個無限容量的等待快取。考慮採用用排隊論知識建立搶占型優先權排隊模型。
設同級型別的病種有相同的優先權等級，以滿足外傷、白內障的優先條件，設服務機制是搶占型恢復的，即當乙個病患進入該系統時，如果該病患優先權等級比已經被安排床位的患者病種優先權等級高時，那個已經被安排床位但還沒入院的病種將被終止服務直到比它優先權高的工作完成服務後，它才恢復未完成的服務。最後，我們設我們的策略是非空閒的，即所有病床都一直在進行接受安排工作。
第三步：通過對模型二進行改進，解決問題四。問題四考慮週六和週日不安排手術，是對模型二中的乙個特殊條件限制，在程式設計中加入條件限制語句，得出滿足此條件的床位分配結果。
第四步：建立模型解決問題五。建立使得所有病人在系統內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型，運用線性規劃模型解決此問題，並求解病床分配比例，醫院在分配床時按照此模型求解的分配比例，就可以使滿足平均逗留時間最短。
然後用分層排隊論模型求解出床位安排結果。
三模型假設
1. 假設住院期間不隨意調動病人的安置情況。
2. 假設病患住院時間等於術後觀察時間的平均值與術前準備時間之和。
3. 假設將所有外傷都視為急症是合理的。
4. 假設採用優先權排隊規則時，等待住院的患者都接受醫院的住院時間調動。
5. 假設在出現的等待時間內病人的情況不會變得異常嚴重。
6. 假設所給資料基本可靠，有實際意義。
7． 假設平均逗留時間（含等待入院及住院時間）與就診病症的評均出現比例的關係在一定時間內不變。
8. 假設醫院每天有條件做足夠多數量的手術。
四符號說明
1. 為醫院總床位數
2. 為患者平均到達率
3. 為每個服務台的平均服務率
4. 為平均到達間隔，也就是平均到達率的倒數
5. 為患者在系統中的平均等待時間
6. 為患者在系統中的平均逗留時間
7. 為忙期的平均長度
8. 為閒期的平均長度
9. 為平均隊長（系統中的患者數，包括排隊等候的和正在接受服務的所有患者)
10. 平均佇列長（不考慮接受服務的患者, 排隊等候的患者數稱為佇列長）
11. 為第天總成本，即為每位住院者入院前等待損失成本與住院醫院的床位服務成本的總花銷
12. 為每位患者就診等待入院時每天損失成本係數
13. 為每位患者住院時每天醫院消耗資源成本係數
14. 為個服務台在任意時刻有個患者的概率
15. 為個服務台在任意時刻有0個患者的概率
16. 為閒期的平均長度
17. 為忙期的平均長度
18. 為服務視窗空閒時間的概率
19. 為服務視窗繁忙時間的概率
20. 為服務強度
21. 為第類病人的病床占用比例
22. 為第類病的平均等待入院時間與病床占用比例的關係係數
23. 為第類病的平均術前準備時間與病床占用比例的關係係數
24. 為第類病的平均術後觀察時間與病床占用比例的關係係數
五模型的建立及求解
5.1 問題一的解決：評價指標模型
5.1.1 總成本評價
成本指標模型用於分析總成本，患者就診到入院等待時消耗的成本和住院醫院的床位服務成本，入院前等待時間越長，對患者和醫院的損失越大，住院時間短會提高醫院的病床使用率，優化醫院資源配置，所以建立成本模型指標評價病床安排模型，是綜合患者損失和醫院資源配置優劣的評價。
第天總成本分為兩部分，一部分是入院前等待的損失成本，另一部分是每位住院患者在醫院的消耗成本，只有這兩部分成本越小，病床安排模型越優。
設為第天患者就診後等待入院的總人數，為第天住院人數，為每位患者就診後等待入院時每天損失成本係數，為每位患者住院時每天醫院消耗資源成本係數。則第天總成本可表示為：
每位患者就診等待入院時每天損失成本係數[9] （元）
每位患者住院時每天醫院消耗資源成本係數[10] （元）
由題目中所給**得出從2008-7-13到2008-7-31這19天的等待入院患者人數如表1所示。
表1 從2008-7-13到2008-7-31這19天的等待入院患者人數
這19天住院患者人數其中）。
代入則對應的即可得出。
畫出總成本關於日期的影象如圖1所示：
圖1 總成本與時間關係影象
從圖形粗略分析得出，按fcfs（first come, first serve）規則的病床安排模型會造成總成本較高，使醫院的綜合效益較低；總成本影象隨時間推移呈增加趨勢，也就是說總成本在一定程度內會越來越高；此規則造成等待入院的隊越排越長，等待入院接受**前的時間較長，給患者帶來的病痛和損失較大，總花費也隨之增大。長期發展下去，會對醫院的長期發展造成威脅。所以不論是從患者還是醫院的角度出發，用此模型安排病床都是不利的。
5.1.2 「歸一分析法」分析床位利用效率
「歸一分析法」模型就是將病床使用率和病床周轉次數綜合起來，建立床位工作效率指數模型。該指數用以下指數求解：
其中，期內床位實際周轉次數和床位使用率的求解公式如下：
由此可知：實際周轉次數等於標準周轉次數且床位使用率為100%時，床位運轉狀況達到床位管理的最佳狀態，此狀態下床位效率指數為1，因此以1為標準判斷床位工作效率情況。當效率指數小於1時，床位低效率執行；當效率指數等於1時，床位等效率執行；當效率指數大於1時，床位高效率執行。
從題目中給的**，得出按照fcfs（first come, first serve）規則安排住院的以下指標：實際周轉次數為4.43，床位使用率為1，床位效率指數為0.
22151，故床位低效率執行。
綜合成本模型指標和病床效率指數對按照fcfs（first come, first serve）規則安排住院的情況評價可知，此模型下的床位運作情況，不僅對醫院還是患者不利，而且床位執行效率過低，所以此規則安排床位有待改進。
5.2 問題
二、三的解決：搶占型優先權排隊模型（排隊模型）
排隊論模型，是通過數學方法定量地對乙個客觀複雜的排隊系統結構和行為進行動態模擬研究，科學、準確地描述排隊系統的概率規律，排隊論也是運籌學的分支學科。在醫院的病床安排系統中如果進行科學的模擬和系統的研究，從而對病床安排和住院手術安排進行最優設計，以獲得反映系統本質特徵的數量指標結果，進行**、分析或評價，最大限度的滿足患者及家屬的需求，將有效避免資源浪費。
5.2.1 模型系統的描述
我們所考慮的排隊系統是乙個搶占型優先權服務機制下多類排隊網路，其服務視窗由79張病床組成，每個服務視窗有乙個無限容量的等待快取，接受服務的病人的病情情況各不相同，服務內容包括安排入院、進行手術和術後觀察。
此系統具有如下特徵：
1. 輸入過程：各類顧客單個到達，形成乙個顧客流，一定時間內患者到達服從泊松分布。
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