第3講：巧妙求和（教案）
課前知識複習
1.某超市有5筐大公尺，如果從每個筐中取出60千克，那麼5個筐裡剩下的大公尺正好是原來的3筐。原來每個筐裡裝多少千克大公尺？
60*5/（5-3）=150
2.有6筐梨，每筐梨的個數相等，如果從每筐中取出30個，那麼6筐梨剩下的個數總和比原來2筐梨多24個，原來每筐有梨多少個？
（30*6+24）/（6-2）=51
引入若干個數排成一列稱為數列。數列中的每乙個數稱為一項。其中第一項稱為首項，最後一項稱為末項，數列中項的個數稱為項數。
從第二項開始，後項與其相鄰的前項之差都相等的數列稱為等差數列，後項與前項的差稱為公差。
在這一章要用到兩個非常重要的公式：「通項公式」和「項數公式」。
通項公式：第n項=首項+（項數－1）×公差
項數公式：項數=（末項－首項）÷公差＋1
一：精講精練
【例題1】有乙個數列：4，10，16，22.…，52.這個數列共有多少項？
【思路導航】容易看出這是乙個等差數列，公差為6，首項是4，末項是52.要求項數，可直接帶入項數公式進行計算。
項數=（52－4）÷6＋1=9，即這個數列共有9項。
練習1：
1.等差數列中，首項=1.末項=39，公差=2.這個等差數列共有多少項？
答案：39-1=38 38 /2=19 19+1=20
2.有乙個等差數列：2.5，8，11.…，101.這個等差數列共有多少項？
答案：101-2=99 99/3=33 33+1=34
【例題2】有一等差數列：3.7，11.15，……，這個等差數列的第100項是多少？
【思路導航】這個等差數列的首項是3.公差是4，項數是100。要求第100項，可根據「末項=首項+公差×（項數－1）」進行計算。
第100項=3+4×（100－1）=399.
練習2：
1.一等差數列，首項=3.公差=2.項數=10，它的末項是多少？
答案：10-1=9 9*2=18 3+18=21
2.求1.4，7，10……這個等差數列的第30項。
答案：29*3=87 87+1=88
【例題3】有這樣乙個數列：1.2.3.4，…，99，100。請求出這個數列所有項的和。
【思路導航】如果我們把1.2.3.
4，…，99，100與列100，99，…，3.2.1相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每個小括號內的兩個數的和都是101.
一共有100個101相加，所得的和就是所求數列的和的2倍，再除以2.就是所求數列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的數列是乙個等差數列，經研究發現，所有的等差數列都可以用下面的公式求和：
等差數列總和=（首項+末項）×項數÷2
這個公式也叫做等差數列求和公式。
練習3：
計算下面各題。
（1）1+2+3+…+49+50
答案：1+50=51 51*50/2=1275
（2）6+7+8+…+74+75
答案：6+75=81 81*70/2=2835
【例題4】求等差數列2，4，6，…，48，50的和。
【思路導航】這個數列是等差數列，我們可以用公式計算。
要求這一數列的和，首先要求出項數是多少：項數=（末項－首項）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首項=2.末項=50，項數=25
等差數列的和=（2+50）×25÷2=650.
練習4：
計算下面各題。
（1）2+6+10+14+18+22
答案：（22-2）/4+1=6 (2+22)*6/2=72
（2）5+10+15+20+…+195+200
答案： （200-5）/5+1=40 5+200）*40/2=4100
【例題5】計算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
【思路導航】容易發現，被減數與減數都是等差數列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然後相減。
進一步分析還可以發現，這兩個數列其實是把1 ～ 100這100個數分成了奇數與偶數兩個等差數列，每個數列都有50個項。因此，我們也可以把這兩個數列中的每一項分別對應相減，可得到50個差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50練習5：
用簡便方法計算下面各題。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
答案：2001-2000）+（1999-1998）
=1+1+1+1
=4（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）
答案：（2-1）+（4-3）
=1+1+1+
=1000
知識總結：
若干個數排成一列稱為數列。數列中的每乙個數稱為一項。其中第一項稱為首項，最後一項稱為末項，數列中項的個數稱為項數。
從第二項開始，後項與其相鄰的前項之差都相等的數列稱為等差數列，後項與前項的差稱為公差。
在這一章要用到兩個非常重要的公式：「通項公式」和「項數公式」。
通項公式：第n項=首項+（項數－1）×公差
項數公式：項數=（末項－首項）÷公差＋1
隨堂訓練
一：已知等差數列11.16，21.26，…，1001.這個等差數列共有多少項？
答案：1001-11=990 990/5=158 158+1=159
二：求等差數列2.6，10，14……的第100項。
三：計算
100+99+98+…+61+60
答案：100+60=160 160*41/2=3280
四：計算
9+18+27+36+…+261+270
答案：270-9）/9+1=30 9+279）*30/2=4320
五：計算
（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）
答案：1+（3-2）+（5-4）
=1+1+1+1
=1000
第三講巧妙求和
一 基礎知識回顧 在一列數中，如果每相鄰的兩個數的差是相同的，這樣的一列數叫做等差數列，在等差數列中有 1 相鄰兩個數的差叫做公差 2 數列中的每乙個數叫做項 3 數列中的第乙個數叫做首項 4 數列中的最後乙個數叫做末項 5 乙個數列中共有多少項叫做項數。等差數列的求和公式 1 總和 首項 末項 項...
第12講數列的求和方法
一 知識歸納 1 拆項求和法 將乙個數列拆成若干個簡單數列 如等差數列 等比數列 常數數列等等 然後分別求和.2 併項求和法 將數列的相鄰的兩項 或若干項 並成一項 或一組 得到乙個新的且更容易求和的數列.3 裂項求和法 將數列的每一項拆 裂開 成兩項之差，使得正負項能互相抵消，剩下首尾若干項.4 ...
第3講遞推
遞推是一種應用非常廣泛的常用演算法之一，與下一章的遞迴有著密切的聯絡。本章 遞推在求解數列 數陣以及計數等應用案例方面的應用。在紛繁變幻的世界，所有事物都隨時間的流逝發生著微妙的變化。許多現象的變化是有規律可循的，這種規律往往呈現出前因後果的關係。某種現象的變化結果與緊靠它前面變化的乙個或一些結果緊...