一.選擇題（本大題共10小題，每小題4分,共40分.）
二.填空題 (本大題共4小題，每小題4分, 共16分)
11. 3+5i 12. 13. 14.
三、解答題（本大題共3小題，共34分.）
15. (本小題共12分)
解：(12分
令4分解此不等式，得.
因此，函式的單調增區間為6分
(2) 令,得或8分
當變化時，，變化狀態如下表：
10分從表中可以看出，當時，函式取得最小值.
當時，函式取得最大值1112分
16. (本小題共12分)證明（1）當時，左邊=，右邊=，等式成立.--4分
（2）假設當時，等式成立，即6分
那麼，當時，
這就是說，當時等式也成立10分
根據（1）和（2），可知等式對任何都成立12分
17．(本小題共10分)
解：（ⅰ）因為容器的高為x，則做成的正三稜柱形容器的底邊長為----1分.
則3分函式的定義域為4分
（ⅱ）實際問題歸結為求函式在區間上的最大值點.
先求的極值點.
在開區間內6分
令，即令，解得.
因為在區間內，可能是極值點. 當時，；
當時8分
因此是極大值點，且在區間內，是唯一的極值點，所以是的最大值點，並且最大值
即當正三稜柱形容器高為時，容器的容積最大為10分
卷二一、填空題（每小題4分，共16分）
1. 2. 3. 4. (2)(3)
二、解答題:(本大題共2小題,共14分)
5. （本題8分）證明: (i)因為,
令,則2分
則當時, ,當,
所以為的乙個極大值點4分
同理可證為的乙個極小值點5分
另解：(i)因為是乙個二次函式，
且2分所以導函式有兩個不同的零點，
又因為導函式是乙個二次函式，
所以函式有兩個不同的極值點5分
(ii) 因為，
令,則6分
因為和有相同的極值點, 且和不可能相等,
所以當時,， 當時, ,
經檢驗,和時,都是的極值點8分
6．(本小題共6分)
解（i）對函式求導，得1分
先證充分性：若，，，
函式在區間上遞增2分
再說明非必要性:在區間上遞增， ∴對1由得，，而，
所以，即3分
所以，是函式在區間上遞增的充分而不必要的條件 ……4分
（ii），令，得
顯然，時不符合題意.
當時，函式在（）上遞增，在上遞減，
若時，恆成立，需=6
得5分 當時，函式在（）上遞增，在上遞減，
此時，，如滿足恆成立，
需得 故若時，滿足恆成立，實數
6分其它正確解法按相應步驟給分
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