如圖，將△aob置於平面直角座標系中，其中點o為座標原點，點a的座標為（3，0），∠abo=60°．
（1）若△aob的外接圓與y軸交於點d，求d點座標．
（2）若點c的座標為（-1，0），試猜想過d，c的直線與△aob的外接圓的位置關係，並加以說明．
（3）二次函式的圖象經過點o和a且頂點在圓上，求此函式的解析式．
分析：（1）∠abo=60°則∠ado=60°，在直角△aod中，根據三角函式就可以求出od的長，則可以求出d的座標．
（2）若點c的座標為（-1，0），在直角△cdo中，根據三角函式就可以求出∠cdo的度數．進而得到∠cda的度數．從而判斷過d，c的直線與△aob的外接圓的位置關係．
（3）函式經過o，a兩點，因而對稱軸是oa的垂直平分線與圓的交點，過交點作oa的垂線，利用三角函式，就可以求出oa的垂直平分線與圓的交點的座標，再根據待定係數法就可以求出函式的解析式．
解：（1）連線ad，則∠ado=∠b=60°，
在rt△ado中，∠ado=60°，
所以od=oa÷√3=3÷√3=√3
所以d點的座標是（0，√3)
（2）猜想：cd與圓相切，
∵∠aod是直角，
∴ad是圓的直徑，
又∵tan∠cdo=co/do=1/√3=√3/3，∠cdo=30°，
∴∠cda=∠cdo+∠ado=90°，即cd⊥ad，
∴cd切外接圓於點d；
（3）依題意可設二次函式的解析式為：
y=α（x-0）（x-3），
由此得頂點座標的橫座標為：x=3a/2a=3/2即頂點在oa的垂直平分線上，作oa的垂直平分線ef，
則得∠efa=1/2∠b=30°，
即得到ef=√3ea=(3/2)√3可得乙個頂點座標為（3/2，(3/2)√3）
同理可得另乙個頂點座標為（3/2，(-1/2)√3）
分別將兩頂點代入y=α（x-0）（x-3）
可解得α的值分別為-2√3/3，2√3/9
則得到二次函式的解析式是y=-(2√3/3)x（x-3）或y=(2√3/9)x（x-3）．
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