第13章靜電場中的導體和電解質
一、選擇題
1(d)，2(a)，3(c)，4(b)，5(c)
二、填空題
(1). σ(x，y，z)/ε0，與導體表面垂直朝外(σ > 0) 或與導體表面垂直朝里(σ < 0).
(20εr3). ；
(4). p ，－p ，05). εr ，εr
三、計算題
1.如圖所示，一內半徑為a、外半徑為b的金屬球殼，帶有電荷q，在球殼空腔內距離球心r處有一點電荷q．設無限遠處為電勢零點，試求：
(1) 球殼內外表面上的電荷
(2) 球心o點處，由球殼內表面上電荷產生的電勢．
(3) 球心o點處的總電勢．
解：(1) 由靜電感應，金屬球殼的內表面上有感生電荷-q，外表面上帶電荷q+q．
(2) 不論球殼內表面上的感生電荷是如何分布的，因為任一電荷元離o點的
距離都是a，所以由這些電荷在o點產生的電勢為
(3) 球心o點處的總電勢為分布在球殼內外表面上的電荷和點電荷q在o點
產生的電勢的代數和
2. 如圖所示，一圓柱形電容器，內筒半徑為r1，外筒半徑為r2 (r2＜2 r1)，其間充有相對介電常量分別為εr1和εr2＝εr1 / 2的兩層各向同性均勻電介質，其介面半徑為r．若兩種介質的擊穿電場強度相同，問：
(1) 當電壓公升高時，哪層介質先擊穿？
(2) 該電容器能承受多高的電壓
解：(1) 設內、外筒單位長度帶電荷為＋λ和－λ．兩筒間電位移的大小為
d＝λ / (2πr)
在兩層介質中的場強大小分別為
e1 = λ / (2πε0 εr1r)， e2 = λ / (2πε0 εr2r
在兩層介質中的場強最大處是各層介質的內表面處，即
e1m = λ / (2πε0 εr1r1)， e2m = λ / (2πε0 εr2r
可得 e1m / e2m = εr2r / (εr1r1) = r / (2r1)
已知 r1＜2 r1， 可見 e1m＜e2m，因此外層介質先擊穿．
(2) 當內筒上電量達到λm，使e2m＝em時，即被擊穿，
m = 2πε0 εr2rem
此時．兩筒間電壓(即最高電壓)為：
3. 如圖所示，一電容器由兩個同軸圓筒組成，內筒半徑為a，外筒半徑為b，筒長都是l，中間充滿相對介電常量為εr的各向同性均勻電介質．內、外筒分別帶有等量異號電荷+q和-q．設 (b- a) << a，l >> b，可以忽略邊緣效應，求：
(1) 圓柱形電容器的電容；
(2) 電容器貯存的能量
解：由題給條件 (和，忽略邊緣效應, 應用高斯定理可求出兩
筒之間的場強為
兩筒間的電勢差
電容器的電容
電容器貯存的能量
4. 如圖所示，一平板電容器，極板面積為s，兩極板之間距離為d，其間填有兩層厚度相同的各向同性均勻電介質，其介電常量分別為ε1和ε2．當電容器帶電荷±q時，在維持電荷不變下，將其中介電常量為ε1的介質板抽出，試求外力所作的功．
解：可將上下兩部分看作兩個單獨的電容器串聯，兩電容分別為
串聯後的等效電容為
帶電荷±q時，電容器的電場能量為
將ε1的介質板抽去後，電容器的能量為
外力作功等於電勢能增加，即
5. 如圖所示，將兩極板間距離為d的平行板電容器垂直地插入到密度為ρ、相對介電常量為εr的液體電介質中．如維持兩極板之間的電勢差u不變，試求液體上公升的高度h．
解：設極板寬度為l，液體未上公升時的電容為
c0 = ε0hl / d
液體上公升到h高度時的電容為
在u不變下，液體上公升後極板上增加的電荷為
電源作功
液體上公升後增加的電能
液體上公升後增加的重力勢能
因 a = w1+w2，可解出
思考題1. 無限大均勻帶電平面（面電荷密度為σ）兩側場強為，而在靜電平衡狀態下，導體表面（該處表面面電荷密度為σ）附近場強為，為什麼前者比後者小一半？
參考解答：
關鍵是題目中兩個式中的σ不是一回事。下面為了討論方便，我們把導體表面的面電荷密度改為σ′，其附近的場強則寫為
對於無限大均勻帶電平面(面電荷密度為σ)，兩側場強為.這裡的 σ 是指帶電平面單位面積上所帶的電荷。
對於靜電平衡狀態下的導體，其表面附近的場強為
這裡的 σ′是指帶電導體表面某處單位面積上所帶的電荷。
如果無限大均勻帶電平面是乙個靜電平衡狀態下的無限大均勻帶電導體板，則σ是此導體板的單位面積上(包括導體板的兩個表面)所帶的電荷，而σ′僅是導體板的乙個表面單位面積上所帶的電荷。
在空間僅有此導體板（即導體板旁沒有其他電荷和其他電場）的情形下，導體板的表面上電荷分布均勻，且有兩表面上的面電荷密度相等。在此情況下兩個面電荷密度間的關係為σ =2σ′。這樣，題目中兩個e式就統一了。
思考題2：由極性分子組成的液態電介質，其相對介電常量在溫度公升高時是增大還是減小？
參考解答：
由極性分子組成的電介質（極性電介質）放在外電場中時，極性分子的固有電矩將沿外電場的方向取向而使電介質極化。由於極性分子還有無規則熱運動存在，這種取向不可能完全整齊。
當電介質的溫度公升高時，極性分子的無規則熱運動更加劇烈，取向更加不整齊，極化的效果更差。此情形下，電極化強度將會比溫度公升高前減小。
在電介質中的電場不太強時，各向同性電介質的和間的關係為
.很明顯，在同樣的電場下，當溫度公升高後，相對介電常量εr要減小。
思考題3：有一上下極板成θ角的非平行板電容器（長為a ,寬為b），其電容如何計算？
參考解答：
設一平行板電容器是由長為a ,寬為b 的兩導體板構成,板間距為d ,則電容為若該電容器沿兩極板的長度同一方向有d x的長度增量,則電容為在此基礎上推廣到如圖所示的電容器，可以認為是在的基礎上,上極板沿與長度方向成θ角度連續增加到b,下極板沿長度方向連續增加到bcosθ構成，把該電容器看成是由兩個電容器併聯時，該電容器的電容為
即非平行板電容器的電容，
思考題4：為了實時檢測紡織品、紙張等材料的厚度（待測材料可視作相對電容率為r的電介質），通常在生產流水線上設定如圖所示的感測裝置，其中a、b為平板電容器的導體極板，s為極板面積，d0為兩極板間的距離。試說明檢測原理，並推出直接測量電容c與間接測量厚度d 之間的函式關係。
如果要檢測鋼板等金屬材料的厚度，結果又將如何？
參考解答：
設極板帶電，
兩板電勢差：
則介質的厚度為：
實時地測量a、b間的電容量c，根據上述關係式就可以間接地測出材料的厚度、通常智慧型化的儀表可以實時地顯示出待測材料的厚度。
如果待測材料是金屬導體，其a、b間等效電容與導體材料的厚度分別為：
， .
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