1．（2010河南）在平面直角座標系中，已知拋物線經過a(4，0)，b(0，一4)，c(2，0)三點.
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點m為第三象限內拋物線上一動點，點m的橫座標為m，△amb的面積為s.求s關於m的函式關係式，並求出s的最大值；
(3)若點p是拋物線上的動點，點q是直線y=－x上的動點，判斷有幾個位置能使以點p、q、b、0為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點q的座標.
【答案】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，則有
解得∴拋物線的解析式y=x2+x﹣4
（2）過點m作md⊥x軸於點d.設m點的座標為（m，n）.
則ad=m+4，md=﹣n，n=m2＋m－4 .
∴s = s△amd+s梯形dmbo－s△abo
m+4) (﹣n)＋(﹣n＋4) (﹣m) －×4×4
2n-2m-8
2(m2＋m－4) -2m-8
m2-4m (－4< m < 0)
∴s最大值 = 4
（3）滿足題意的q點的座標有四個，分別是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），
（-2+，2－），（-2－，2＋）
2．（2010四川內江）如圖，拋物線y＝mx2―2mx―3m(m＞0)與x軸交於a、b兩點， 與y軸交於c點.
（1）請求拋物線頂點m的座標（用含m的代數式表示），a，b兩點的座標；
（2）經**可知，△bcm與△abc的面積比不變，試求出這個比值；
（3）是否存在使△bcm為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由..
【答案】解：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m(x2―2x―3)＝m(x－1)2―4m,
∴拋物線頂點m的座標為（1，―4m） 2分
∵拋物線y＝mx2―2mx―3m(m＞0)與x軸交於a、b兩點，
∴當y＝0時，mx2―2mx―3m＝0，
∵m＞0，
∴x2―2x―3＝0，
解得x1＝－1，x,2＝3，
∴a，b兩點的座標為（－1,0）、（3,0）. 4分
（2）當x＝0時，y＝―3m，
∴點c的座標為（0，－3m）,
∴s△abc＝×|3－(－1)|×|－3m|＝6|m|＝6m， 5分
過點m作md⊥x軸於d，則od＝1，bd＝ob－od＝2，md＝|－4m |＝4m.
∴s△bcm＝s△bdm ＋s梯形ocmd－s△obc
＝bd·dm＋(oc＋dm)·od－ob·oc
＝×2×4m＋(3m＋4m)×1－×3×3m＝3m， 7分
∴ s△bcm：s△abc＝1∶2. 8分
（3）存在使△bcm為直角三角形的拋物線.
過點c作cn⊥dm於點n，則△cmn為rt△，cn＝od＝1，dn＝oc＝3m,
∴mn＝dm－dn＝m,
∴cm2＝cn2＋mn2＝1＋m2，
在rt△obc中，bc2＝ob2＋oc2＝9＋9m2，
在rt△bdm中，bm2＝bd2＋dm2＝4＋16m2.
①如果△bcm是rt△，且∠bmc＝90°時，cm2＋bm2＝bc2,
即1＋m2＋4＋16m2＝9＋9m2，
解得 m＝±,
∵m＞0，∴m＝.
∴存在拋物線y＝x2－x－使得△bcm是rt△; 10分
②①如果△bcm是rt△，且∠bcm＝90°時，bc2＋cm2＝bm2.
即9＋9m2＋1＋m2＝4＋16m2，
解得 m＝±1,
∵m＞0，∴m＝1.
∴存在拋物線y＝x2－2x－3使得△bcm是rt△;
③如果△bcm是rt△，且∠cbm＝90°時，bc2＋bm2＝cm2.
即9＋9m2＋4＋16m2＝1＋m2，
整理得 m2＝－，此方程無解,
∴以∠cbm為直角的直角三角形不存在.
（或∵9＋9m2＞1＋m2，4＋16m2＞1＋m2，∴以∠cbm為直角的直角三角形不存在.）
綜上的所述，存在拋物線y＝x2－x－和y＝x2－2x－3使得△bcm是rt△.
3．（2010 山東東營） 如圖，已知二次函式的圖象與座標軸交於點a（-1， 0）和點
b（0，-5）．
（1）求該二次函式的解析式；
（2）已知該函式圖象的對稱軸上存在一點p，使得△abp的周長最小．請求出點p的座標．
【答案】解：（1）根據題意，得…2分
解得3分
∴二次函式的表示式為．……4分
（2）令y=0，得二次函式的圖象與x軸
的另乙個交點座標c（5, 0）.……………5分
由於p是對稱軸上一點，
鏈結ab，由於，
要使△abp的周長最小，只要最小6分
由於點a與點c關於對稱軸對稱，鏈結bc交對稱軸於點p，則= bp+pc =bc，根據兩點之間，線段最短，可得的最小值為bc.
因而bc與對稱軸的交點p就是所求的點8分
設直線bc的解析式為，根據題意，可得解得
所以直線bc的解析式為9分
因此直線bc與對稱軸的交點座標是方程組的解，解得
所求的點p的座標為（2，-310分
4．（2010 湖北孝感） 如圖，已知二次函式影象的頂點座標為（2，0），直線與二次函式的影象交於a、b兩點，其中點a在y軸上。
（1）二次函式的解析式為y3分）
（2）證明點不在（1）中所求的二次函式的影象上；（3分）
（3）若c為線段ab的中點，過c點作軸於e點，ce與二次函式的影象交於d點。
①y軸上存在點k，使以k、a、d、c為頂點的四邊形是平行四邊形，則k點的座標是2分）
②二次函式的影象上是否存在點p，使得？若存在，求出p點座標；若不存在，請說明理由。（4分）
【答案】（1）解：
（2）證明：設點的影象上，
則有： 整理得
∴原方程無解的圖象上
說明：由
從而判斷點不在二次函式影象上的同樣給分。
（3）解
②二次函式的圖象上存在點p，使得
如圖，過點b作軸於f，則bf//ce//ao，又c為ab中點，
設，由題意有：
解得12分說明：在求出得到
△poe的邊oe上的高為16，即點p的縱座標為16，
然後由可求出p點座標。
5（2010陝西西安）如圖，在平面直角座標系中，拋物線經過a（—1，0），b（3，0），c（0，—1）三點。
（1）求該拋物線的表示式；
（2）點q在y軸上，點p在拋物線上，要使以點q、p、a、b為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點p的座標。
【答案】解：（1）設該拋物線的表示式為。根據題意，得、
解之，得
∴所求拋物線的表示式為
（2）①當ab為邊時，只要pq//ab，且pq=ab=4即可，
又知點q在y軸上，∴點p的橫座標為4或-4，這時，將
合條件的點p有兩個，分別記為p1，p2。
而當x=4時，
此時②當ab為對角線時，只要線段pq與線段ab互相平分即可，
又知點q在y軸上，且線段ab中點的橫座標為1，
∴點p的橫座標為2，這時，符合條件的點p只有乙個，記為p3，
而當x=2時，y=-1，此時p3（2，-1）
綜上，滿足條件的點
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