練習二十九
１．將１、４行染紅色、２、５行染黃色、３、６行染藍色，然後就彎角板蓋住板麵的不同情況分類討論．
２．設第一張紙上的黑格ａ與第二張紙上的紅格ａ′重合．如果在第一張紙上ａ所在的列中，其餘的黑格（奇數個）均與第二張紙的黑格重合，那麼由第二張紙上這一列的黑格個數為偶數，知必有一黑格與第一張紙上的紅格重合，即在這一列，第一張紙上有一方格ｂ與第二張紙上不同顏色的方格ｂ′重合．同理在ａ、ｂ所在行上各有乙個方格ｃ、ｄ，第二張紙上與它們重合的方格ｃ′、ｄ′的顏色分別與ｃ、ｄ不同．
３．把９名數學家用點表示．兩人能通話，就用線鏈結，並塗某種顏色，以表示不同語種。兩人不通話，就不連線．
（１）果任兩點都有連線並塗有顏色，那麼必有一點如ａ１，以其為一端點的８條線段中至少有兩條同色，比如可見ａ１，ａ２，ａ３之間可用同一語言通話．②如情況①不發生，則至少有兩點不連線，比如ａ１、ａ２．由題設任三點必有一條連線知，其餘七點必與ａ１或ａ２有連線．這時七條線中，必有四條是從某一點如ａ１引出的．而這四條線中又必有二條同色，則問題得證．
４．結論不成立，如圖所示（圖中每條線旁都有乙個數字，以表示不同語種）．
５．類似於第３題證明．
６．用點表示客人，紅、藍的連線分別表示兩人相識或不相識，因為由乙個頂點引出的藍色的線段最多有３２條，所以其中至少有三點之間連紅線．這三個點（設為ａ１、ａ２、ａ３）引出的藍色線段最多為９６條．去掉所有這些藍色的線段（連同每條線段上的乙個端點這樣，在圖中至少還剩下四個點，除ａ１、ａ２、ａ３外，設第四點為ａ４，這四個點中ａ１，ａ２，ａ３每乙個點與其它的點都以紅色的線段相連，於是客人彼此兩兩相識．
７．先利用右圖證明＂若平面上有兩個異色的點距離為２，地麼必定可以找到符合題意的三角形＂．再找長為２端點異色的線段．以ｏ（白色）為圓心，４為半徑作圓．如圓內皆白點，問題已證．否則圓內有一黑點ｐ，以ｏｐ為底作腰長為２的三角形ｏｐｒ，則ｒ至少與ｏ、ｐ中一點異色，這樣的線段找到．
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