2014高考數學教與練特訓秘籍10
【考點聚焦】
考點1：向量的概念、向量的加法和減法、實數與向量的積.
考點2：向量的座標運算、平面向量的數量積.
考點3：向量的模與角的計算。.
【考點小測】
1．（浙江卷）設向量滿足, ,則
(a)1b)2c)4d)5
2．（2023年天津高考題）o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足，，則p的軌跡一定通過△abc的（ ）
（a）外心 （b）內心 （c）重心 （d）垂心
3．（廣東卷）如圖1所示，是的邊上的中點，則向量
a. b. c. d.
4．（湖南卷）已知,且關於的方程有實根,則與的夾角的取值範圍是a.[0,] b. c. d.
5．（全國卷i）已知向量滿足，且，則與的夾角為
abcd．
6．（山東卷）設向量a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量d為
(a)(2,6b)(－2,6c)(2,－6d)(－2,－6)
7． (上海卷)如圖，在平行四邊形abcd中，下列結論中錯誤的是
（ab）＋＝；
（cd）＋＝．
8．（北京卷）若三點共線，則的值等於
9．（2023年全國卷ⅱ）點p在平面上作勻速直線運動，速度向量v=（4，－3）（即點p的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位.設開始時點p的座標為（－10，10），則5秒後點p的座標為10，－5）
10．（湖南卷）已知直線ax＋by＋c＝0與圓o：x2＋y2＝1相交於a、b兩點，且|ab|＝，則
【典型考例】
【考型1】向量的有關概念與運算
此類題經常出現在選擇題與填空題中，在複習中要充分理解平面向量的相關概念，熟練掌握向量的座標運算、數量積運算，掌握兩向量共線、垂直的充要條件.
例1：已知a是以點a(3,－1)為起點，且與向量b = (－3,4)平行的單位向量，則向量a的終點座標是 .
思路分析：與a平行的單位向量e=±
方法一：設向量a的終點座標是(x,y),則a =(x-3,y+1)，則題意可知
，故填 (,-)或(,-)
方法二與向量b = (-3,4)平行的單位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，從而向量a的終點座標是(x,y)= a－(3,－1),便可得結果.
點評：向量的概念較多，且容易混淆，在學習中要分清、理解各概念的實質，注意區分共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念.
例2：已知| a |=1,| b |=1，a與b的夾角為60°, x =2a－b，y=3b－a,則x與y的夾角的余弦是多少？
思路分析：要計算x與y的夾角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.計算時要注意計算的準確性.
解：由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角α為60°,得a·b=|a||b|cosα=.
要計算x與y的夾角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b
=7a·b－2a2－3b2 =7×－2－3=－，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ， ∴cosθ=－
點評：①本題利用模的性質|a|2=a2，②在計算x,y的模時，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設=b, =a, =2a,∠bac=60°.
由向量減法的幾何意義，得=－=2a－b.由餘弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.
【考型2】向量共線與垂直條件的考查
例3．平面直角座標系中，o為座標原點，已知兩點a(3, 1)，b(－1, 3)， 若點c滿足，其中，∈r且+=1，求點c的軌跡方程。.
解：（法一）設c(x,y)，則=(x,y)，由=(x,y)= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)
∴, （可從中解出α、β）又∵α+β＝1 消去α、β得x+2y-5=0
（法二） 利用向量的幾何運算，考慮定比分點公式的向量形式，結合條件知：a，b，c三點共線，故點c的軌跡方程即為直線ab的方程x＋2y－5=0，
例4．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(,).(1) 若存在實數k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函式的關係式k＝f(t)；(2) 根據(1)的結論，確定k＝f(t)的單調區間.
思路分析：①欲求函式關係式k=f(t)，只需找到k與t之間的等量關係，k與t之間的等量關係怎麼得到？②求函式單調區間有哪些方法？
（導數法、定義法）導數法是求單調區間的簡捷有效的方法？
解：（1）法一：由題意知x＝(,),
y＝(t－k， t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0.
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－,
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的單調遞減區間是(－1, 1 )，單調遞增區間是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
點評： 第（1）問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的座標運算分別求得兩個向量的座標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量垂直的充要條件，其過程要用到向量的數量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）.
第（2）問中求函式的極值運用的是求導的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用.
例5： 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不為零的實數k和角α，使向量＝＋(sinα－3),＝－k＋(sinα),且⊥，試求實數k 的取值範圍.
解：由條件可得：k＝( sinα－)2－,而－1≤sinα≤1,
∴當sinα＝－1時，k取最大值1； sinα＝1時，k取最小值－.
又∵k≠0 ∴k的取值範圍為.
點撥與提示：將例題中的t略加改動，舊題新掘，出現了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函式、不等式綜合運用能力.
例6：已知向量，若正數k和t使得向量
垂直，求k的最小值.
解：代入上式 －3k＋3
當且僅當t=，即t=1時，取「＝」號，即k的最小值是2.
【考型3】向量的座標運算與三角函式的考查
向量與三角函式結合，題目新穎而又精巧，既符合在知識的「交匯處」構題，又加強了對雙基的考查.
例7．設函式f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx, sin2x), x∈r.（1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；（2）若函式y＝2sin2x的圖象按向量c＝(m , n) (﹤)平移後得到函式y＝f(x)的圖象，求實數m、n的值.
思路分析：本題主要考查平面向量的概念和計算、平移公式以及三角函式的恒等變換等基本技能，
解： (1)依題設，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx, sin2x)＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋)
由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－.
∵－≤x≤, ∴－≤2x＋≤, ∴2x＋=－, 即x＝－.
（2）函式y＝2sin2x的圖象按向量c＝（m , n）平移後得到函式y＝2sin2(x－m)+n的圖象，即函式y＝f(x)的圖象.
由(1)得f (xm＝－，n＝1.
點評： ①把函式的影象按向量平移，可以看成是c上任一點按向量平移，由這些點平移後的對應點所組成的圖象是cˊ，明確了以上點的平移與整體圖象平移間的這種關係，也就找到了此問題的解題途徑.②一般地，函式y＝f (x)的圖象按向量a＝(h , k)平移後的函式解析式為y－k＝f（x－h）
例8：已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求證： a+b與a-b互相垂直； （2）若ka+b與a-kb的模大小相等(k∈r且k≠0)，求β－α
解：（1）證法一：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）
∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）, a-b＝（cosα-cosβ，sinα- sinβ）
∴(a+b)·(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）·（cosα-cosβ，sinα- sinβ）
=cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0
∴(a+b)⊥(a-b)
證法二：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ） ∴|a|＝1，|b|＝1
∴(a+b)·(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0a+b)⊥(a-b)
證法三：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1,
記＝a，＝b，則||＝||=1,
又α≠β，∴o、a、b三點不共線.
由向量加、減法的幾何意義，可知以oa、ob為鄰邊的平行四邊形oacb是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形對角線互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)
（2）解：由已知得|ka+b|與|a-kb|,
又∵|ka+b|2＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α),
|ka+b|2＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α),
∴2kcos(β－α)= -2kcos(β－α)
又∵k≠0 ∴cos(β－α)＝0
∵0<α<β<π ∴0<β－α<
注：本題是以平面向量的知識為平台，考查了三角函式的有關運算，同時也體現了向量垂直問題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據數量積的定義證明，二是利用數量積的座標運算來證明，三是利用向量運算的幾何意義來證明.
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