有限元法基礎及應用
習題集一、填空
1. 有限元法是求解連續場力學和物理問題的一種方法。用有限元法求解連續體或結構的力學問題的三個主要步驟是
2. 離散化就是把連續體或結構分割成若干個在處相互連線，尺寸有限的結合體來代替原來的連續結構。
3. 單元分析階段匯出的單元剛度方程建立了和之間的關係。單元剛度方程的核心是矩陣。該矩陣具有性和性，且主對角元素
4. 建立實體單元（一維杆單元、三節點三角形平面單元等）的剛度方程時，須應用作為平衡條件。
5. 彈性力學幾何方程反映彈性體變形時和之間的關係。
6. 單元位移模式中稱為矩陣。該方程的含義是
7. 單元某節點i的形函式ni在該點的值為 ，在其它節點的值均為 。乙個單元所有節點形函式之和等於 。
8. 作用在單元上的載荷須按的原則移置到節點上，因為
9. 單元剛度矩陣奇異性的力學意義是
10. 結構有限元平衡方程建立了有限元離散結構中節點的和之間的關係。該方程的力學意義是有限元離散結構中節點的和之間的平衡。
11. 整體剛度矩陣具有如下性質
12. 對一定的有限元網格，整體剛度矩陣的半頻寬與有關。半頻寬越小，求解時占用計算機資源 。
13. 為保證有限元解的收斂性，單元位移模式應滿足和
14. 建立任意形狀和方位平面四邊形單元和空間六面體單元時，需要採用與單元位移模式中相同的用區域性座標表示的節點形函式對節點座標進行插值以獲得一種座標變換，這種變換稱為採用等參變換的單元稱為
15. 節點數越多的單元，其位移模式多項式單元的能力越強，所以精度 。
16. 彈性力學幾何方程反映彈性體變形時和之間的關係。
17. 彈性力學邊界條件包括和
18. 彈性體的虛位移是假想在彈性體上發生的滿足條件的微小位移場。彈性體的虛功原理可以概括為等於
19. 彈性力學物理方程反映彈性體變形時和之間的關係。
20. 平面應力問題的典型例子是平面應變問題的典型例子是
21. 建立平面問題或空間問題的單元特性方程（單元分析）階段，需要用到彈性力學的方程和方程。
二、簡答題
1．簡述彈性力學平面問題有限元法中單元特性分析的過程。
2．簡述建立整體有限元平衡方程的過程。
3．平面三節點三角形單元中位移、應變和應力具有什麼特徵？有何優缺點？
4．四節點矩形單元中位移、應變和應力具有什麼特徵？有何優缺點？
5．簡單三角形單元剛度矩陣元素的大小與哪些因素有關？與哪些因素無關？
6．畫出三節點三角形單元形函式的圖形，並分析其在邊界上的分布特點。
7．對乙個給定的彈性力學問題，有那些途徑可以提高有限元法求解精度？
8．按位移求解的有限元法中：（1）應用了哪些彈性力學的基本方程？（2）應力邊界條件及位移邊界條件是如何反映的？
（3）力的平衡條件是如何滿足的？（4）變形協調條件是如何滿足的？
9．有限元的收斂條件是什麼？證明三節點三角形單元滿足收斂條件。
10．平面應力三角形單元和空間軸對稱三角形單元分別代表物理空間中什麼樣的物體？
11. 試述所學各類單元節點數、節點位移分量、單元自由度數目。
12. 位移函式應滿足哪些要求？寫出梁單元的位移函式。
13. 空間軸對稱問題的位移分量、應變分量、應力分量有哪些？
14. 簡單（純彎）梁單元的節點位移分量、單元自由度？
15. 平面梁單元的節點有幾個自由度？其在區域性座標系下節點位移分量有哪些？
16. 彈性力學的基本假設？彈性力學有哪些基本方程和邊界條件？
17. 一維杆單元、三節點三角形平面單元、三節點三角形空間軸對稱單元的形函式矩陣、應變矩陣、單元剛度矩陣的行數和列數分別是多少？
18．對於平面問題簡單三角形單元，為什麼單元剛度矩陣是常數矩陣？
19．什麼是等參變換？等參變換的基本條件是什麼？哪些情況使等參變換不成立？劃分等參單元時應注意哪些問題？
20．應用等參單元時，為什麼要採用高斯積分？高斯積分的數目如何確定？
21．彈性力學平面問題求解時應用的三角形單元是等參單元嗎？為什麼？
21．什麼是等參單元，等參單元的主要優點是什麼？
22．寫出平面四節點等參元的座標變換的雅克比（jacobian）矩陣。
23．非節點載荷為什麼要等效變換成節點載荷，如何變換？作變換時應注意什麼問題？
24．結構原始平衡方程式為什麼要做約束處理？
25．試述平面應力問題和平面應變問題的幾何、受力和變形特徵。
26．平面應力問題和平面應變問題有什麼區別？
27．舉例說明，在什麼樣情況下可以將工程問題轉化成平面應力問題？在什麼情況下可以將工程問題轉化為平面應變問題？
28．為什麼說平面三節點三角形單元為常應力單元，如何解決由於這種單元的特點所引起的計算精度不高的問題？
29．用示意圖畫出空間結構常用的單元型別。
30．簡單四面體單元為什麼說是一種常應變單元？
31．軸對稱結構有什麼特點？軸對稱結構如何簡化處理？
三、計算與分析
1．如圖所示，根據彈簧單元的剛度方程推導出系統的平衡方程。
2．根據彈簧單元的剛度方程，匯出下列系統的整體剛度平衡方程。並代入邊界條件，得出節點位移求解方程，並得出節點3的位移和節點1的支反力。
3. 對圖示彈簧系統，k1=300n/mm，k2=k3=200n/mm，k4=200n/mm，f1=600n，f2=400n。
求：（1）其總剛度矩陣；
（2）節點1、2、3的位移；
（3）節點4、5的反力；
（4）彈簧1、2、3、4中的力。
4．如下圖所示，5個彈簧連線在一起，各彈簧的剛度係數如圖上標出。
求：（1）系統剛度矩陣；
（2）節點3處作用f力後，各節點的位移，固定節點1、6處的反作用力。
5．如圖所示一維杆系由兩個材料相同截面不同的直杆單元（1）與（2）組成，彈性模量e。在節點1、2、3上作用有軸向集中載荷q1、q2、q3而平衡。試求解下列各問題：
（1） 建立結構的有限元平衡方程；
（2） 如果節點1被固定（u1=0），q2=p，q3=0，通過建立的平衡方程求各節點位移、節點1約束反力。
（3） 如果q2=0，q3=p，其他條件不變，試根據問題（2）的解答和有關力學概念直接給出節點2、3的位移。
6. 圖標桿-彈簧系統，材料彈性模量為e。試列出其有限元平衡方程，並進行約束處理。
7. 如圖所示一維杆系由兩個材料相同截面不同的直杆單元（1）與（2）組成，彈性模量e，節點1，3固定，節點2受集中力p。試求解下列各問題：
（4） 建立結構的有限元平衡方程。
（5） 求解節點2的位移和各桿的應力。
（6） 如果p=0，且所有桿上受沿x方向作用的均勻線分布力q，求未知節點位移和固定端反力。
8.平面桁架由2根相同的杆組成（e，a，l）。求：
（1）節點2位移；
（2）每根杆應力。
9．如圖所示三桿鋼桁架，節點1、節點3處固定，節點2處受力，，所有桿件材料相同，彈性模量為e，截面積均為a，求各桿受力。
10．如圖所示2杆結構，每根杆的彈性模量均為e，橫截面積均為a。建立座標系和節點系統如圖所示，在節點1處作用x方向的力f，求，。
11．證明杆單元變換矩陣。
12．如圖所示剛架由兩根等截面工字型鋼構成，兩端固支，系統所受載荷如圖所示。梁截面積a=0.006m2，截面慣性距，彈性模量，每根梁長。
求：每根梁所示內力。
13．試推導梁單元的座標變換矩陣
其中，，。
14．如圖所示剛架結構，所有梁材料和截面尺寸相同，截面積為a，慣性距為i，材料彈性模量為e。試寫出每根梁單元的剛度矩陣和結構的總體剛度矩陣。
15．有一正方形板，沿對角承受壓力作用，板厚，載荷，如圖所示。為簡化計算，設泊松比，材料彈性模量為e，求它的應力分布。
16．試證明三角形單元形狀函式
滿足下列性質：
17．如下圖（a）所示懸臂深梁，自由端有垂向均布載荷f，梁的厚度為t，設材料彈性模量為e，泊松比，若採用（b）所示的簡單網格系統，求各節點的位移。
18．正方形板如圖所示，邊長為a，厚度為t，彈性模量為e，泊松比0.15，節點1作用集中力f，節點2、3、4被固定，若採用圖示座標系統和單元節點結構，求各節點位移和應力。
19．如圖所示，用近似法取計算兩個軸對稱單元a、b的單元剛度矩陣，設材料的彈性模量為e，泊松比0.15。
20．試寫出如圖所示5節點等參元形狀函式，並求出其雅克比矩陣的表示式和單元剛度矩陣。
21．圖示懸臂梁為平面應力問題，試寫出邊界條件。
22．如圖平面問題，以單元④為例，通過實算，討論單元點號按順序輪換時單元剛度矩陣及其變化規律。
23．如圖所示平面三角形桁架，終點座標為：1（0,0），2（，），3（，0），e、a為彈性模量及截面積。用有限元法求：
（1）節點位移；
（2）單元內力；
杆結構分析的有限元方法 有限元
杆 承受軸向荷載的桿件 最基本的承力結構件 杆 梁 彈簧 簡單的承受軸力的結構件 有限元方法中，每乙個處理步驟都是標準化和規範化的，因而可以在計算機上通過程式設計來自動實現。f k k 剛性係數 位移的絕對變化量 桿件的伸長量 u2 u1應力某截面上單位面積上的內力 內力的分布集度應變相對伸長量單位...
汽車結構有限元分析
在沒有有限元分析指南的情況下，用力學分析和試驗結果對有限元模型的確認和對計算結果的驗證是非常重要的，以避免不正確的有限元分析結果誤導設計。3.汽車結構的常規分析 汽車結構的常規分析包括強度分析 剛度分析 nh分析 設計優化分析等內容。強度分析 強度的概念是結構在正常工作時能承受的載荷，一般用工作應力...
汽車結構有限元分析作業
練習 小試牛刀 題目 一厚壁封閉容器，兩端為半球形，中部為圓柱形，材料為普通碳素鋼，其彈性模量和泊松比分別為及。已知圓柱段的長度為240mm，外徑d為100mm，內徑d為60mm。該容器以的轉速繞其軸線 圓柱中心線 旋轉，容器內壁受均勻內壓。計算該容器的應力分布及變形。分析 題目給出的封閉容器是關於...