摘要：介紹索膜結構的特徵和基本體系，尋找初始平衡態，確定初始形態的非線性有限元方法以及原理，建立相應的幾何方程、物理方程和平衡方程；應用乙個典型的膜結構工程作為算例分析，說明膜結構形態確定分析在ansys程式中實現的一般過程，最終確定膜結構的初始形態。
關鍵詞：膜結構；初始形態；非線性有限元；ansys
膜建築是20世紀70年代發展university起來的一種新型建築體系，是空間結構的重要組成部分。柔性的膜結構的結構組成材料本身沒有受壓效能，只能通過施加預應力，使膜或者加強索獲得必要的張拉剛度，從而形成抵抗外部荷載的結構抗力。基於這點，結構形態確定就是膜結構設計過程很重要乙個環節。
在給定的邊界條件下，所施加的預應力的分布和大小與所形成的結構初始形狀是相互聯絡的，合理的確定這一初始形狀和相應的自平衡預應力，就是膜結構的初始形態分析。膜結構的初始形態即結構正常使用時的形態，忽略其自身的微小的自重和自平衡預張力，結構不承受任何外部荷載，此時也成為結構零態。
一、膜結構及其形態確定理論概述
（一）非線性有限元法找形的基本原理
非線性有限元法找形的基本原理先將索膜結構離散成若干單元，然後針對索膜結構的小應變、大位移特點，應用幾何非線性理論，建立以節點位移為基本未知量的非線性有限元方程組，最後用迭代計算方法並結合邊界條件求解。
（二）平衡形態分析及基本假定
由於初始平衡狀態是純力學平衡問題，與所採用的材料無關，故在計算過程中採用小彈性模量法，以便使結構自由變形，達到平衡。先假定如下：
1．索離散化為空間鉸接兩結點杆元，膜體離散化為3結點三角形平面應力單元；
2．索膜之間沒有相對滑動；
3．荷載等效化為結點力；
4．索膜張拉為小應變，符合hooke定律；
5．膜材為正交異性彈性材料，變形前後材料主軸始終保持垂直。
（三）小彈性模量曲面自平衡迭代法分析
採用小彈性模量曲面自平衡迭代法，在實際計算中常常把材料彈性模量取得很小，為實際值的1%~0.1%，採用小彈性模量法使得初始位移向目標位移過渡過程中產生的附加應力很小，可以忽略不計，因此，最終得到的目標曲面便可以保持初始設定的預應力狀態。同時，在非線性求解過程中，小彈性模量對加強收斂也有較明顯的作用。
採用三角形膜單元為例，非線性有限元法的基本公式：
忽略材料非線性，只考慮幾何線性：
=dbl+bnl]
式中單元應力增量向量；為單元應變增量；d為材料本構矩陣．bl 為線性應變位移轉換矩陣；bnl為非線性應變位移轉換矩陣；為單元節點位移增量向量。
時步n的應力則表示為：σn=σn-1+δσn-1
根據虛功原理，推導出非線性位移法找形的ul方程:
([kl+knl])=-
式中：為t+△t時刻的荷載等效節點力向量，此項在找形過程中可忽略不計；為t時刻的單元應力節點力向量；為線性應變增量剛度矩陣；為非線性幾何剛度矩陣或初應力矩陣。
二、ansys方法的膜結構形態確定
ansys的基本思想是屬於非線性有限元法。以如下膜結構算例闡述分析步驟：
結構外形為正方形，對角線距離為10m,高度為4m,膜面的初始預張力σ=20n/cm,張拉剛度et=2550n/cm,剪下剛度gt=800n/cm,泊松比γ=0.3.結構4角點固定，4邊為柔性索邊界，邊索的初始預拉力均為30kn,ea=3*104kn。
膜結構形態確定的實現步驟：
1．建立幾何模型。一般由底向上建模，即先建關鍵點，然後連線，再成面。
2．選擇單元型別，輸入實常數。本文採用索單元(iink10)和薄膜單元(shell41)，且都只受拉；輸入索和膜預應力，索用初應變，膜用降低溫度法，索的面積，膜的厚度及溫度膨脹係數，索膜的虛擬彈性模量，為真實值的10-3，進行網格劃分。
3．設定邊界條件、各個支座控制點的提公升位移，進行第一次找形，保留第一次找形的幾何資訊。
4．將各個邊界控制點的支座位移重新設為零，輸人材料的真實彈性模量，重新設定結構索和膜的真實預應力狀態，進行第二次找形。
5．重複（4）若干次，直到結構自平衡迭代求解的響應結果達到設定精度。
6．求解結束，最終形態就是找形求解的結果。
圖1：自平衡後迭代形態
圖2：第一次找形應力分布
圖3：最終自平衡迭代應力分布
表1ansys找形結果的膜面分析
膜面最大應力(kn/m) 膜面最小應力(kn/m) 最大應力與最小應力相差（%） 膜面積(m2)
第一次找形應力 2.04 1.96 4.08% 46.3441
自平衡迭代應力 2.0 1.84 8.70% 46.231
最終自平衡迭代應力 1.95 1.84 5.98% 46.143
表2ansys找形支座反力分析
第一次應力找形支座反力
（kn） 最終自平衡迭代後的支座反力（kn）
x方向 y方向 z方向 x方向 y方向 z方向
左角點 51.98 0 -36.25 左角點 48.05 0 -33.58
上角點 0 -51.98 36.25 上角點 0 -48.05 33.58
下角點 0 51.98 36.25 下角點 0 48.05 33.58
右角點 -51.98 0 36.25 右角點 -48.05 0 -33.58
在第一次膜面找形最大與最小應力兩者相差4.08%，可以認為是應力分布均勻的最小曲面，採取此曲面作為後續膜結構裁剪分析的依據。自平衡迭代最大與最小應力相差8.
70%，可以認為是應力分布較為均勻的平衡曲面。最終自平衡迭代最大與最小應力兩者相差5.98%，同時不平衡位移僅為0.
00306m，空間膜面積46.143m2，與初始找形面積相差0.44%。
最終自平衡迭代的支座反力與第一次找形結果最大相差約7.95%，可以認為該曲面為平衡的最小曲面。
三、結語
張拉式膜結構的找形分析中，非線性有限元方法是應用最多的一種方法。本文介紹了索膜結構找形的非線性有限元法的理論方法，採用小彈性模量曲面自平衡迭代法來進行初始形態的確定。然後利用軟體ansys對一正方形膜結構進行找形，通過自平衡迭代求解，得到的膜面結構在誤差允許範圍內，最終確定膜結構的初始形態。
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作者簡介：童晶（1990- ），女，浙江衢州人，本科，研究方向：結構工程材料。
注：文章內所有公式及圖表請以pdf形式檢視。
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