第一講力學(一)
一、知識提要
二、例題與練習
[例1]小明和爸爸到市場上選購了一批（成捲的）電線，為方便搬運，不願將每卷電線都散開，又擔心電線的實際長度與商品說明書上的標稱長度不符。小明看到櫃檯上有電子秤和公尺尺，便向營業員要來了一段做樣品的同品牌的電線，幫助爸爸順利地測出了每卷電線的實際長度。你知道小明是怎樣做的嗎？
分析與解： （1）用公尺尺測量樣品電線的長度l0；
（2）用電子秤測量樣品電線的質量m；
（3）用電子秤測量一捲電線的質量m；
（4）算出一捲電線的實際長度：
[練習1]現有乙個內徑為2cm的圓環和一支直徑為0.6cm的圓柱形鉛筆，僅用上述器材，你如何較精確地測出某足夠長且厚薄均勻紙帶的厚度？
方法紙帶厚度表示式為
分析與解：對一些形狀不規則或者太小、太細、太薄的物體，直接測量有困難，只好尋求一些特殊的測量方法。 「累積法」 比效適合採用對「細、薄」的物體直徑或厚度的測量運用方面。
將紙帶緊密地環繞在鉛筆上，直至恰好能套進圓環內，記下紙帶環繞的圈數n。紙帶厚度的表示式：（2－0.6）/2ncm，或0.7/ncm
[例2]現有乙個盛有大半瓶飲料的平底可樂瓶(如圖)給你一把刻度尺，一根細線，試測出這個可樂瓶的容積。寫出操作步驟及計算容積的數學表示式。
分析與解：（1）用刻度尺測液面的高h1；
（2）用線繞主體部分一周，用刻度尺量出線長l，得瓶子
主體部分的橫截面積；
（3）算出裝有飲料部分的體積
（4）將瓶蓋旋緊後使瓶子倒置，重新測量上面空餘部分的高h2，對應的體積；
（5）可樂瓶容積的表示式：。
[練習2]請你閱讀下面的短文： 繞幾圈之後
增大摩擦力的方法通常有兩種，即增大壓力、使接觸面粗糙。那麼，還有沒有別的方法了呢？小明對自己提出了這樣的問題。
對此，他進行了如下的研究：找一段棉線，在棉線的一端拴上乙個沉重的東西(例如一把大鎖)，然後，把它搭在乙個平放的圓棍上(如鐵床的橫樑、自行車的大樑等)。像圖中那樣，通過彈簧秤來拉棉線的另一端，如圖1所示。
這時，要使重物不下落，用的力雖然比豎直向上提要少，但少的力卻不算多。
再如圖2所示那樣，將棉線在圓棍上繞一圈，發現彈簧秤的示數變小了。
再如圖3那樣，將棉線在圓棍上繞兩圈，發現彈簧秤的示數更小了。
再如圖4那樣，將棉線在圓棍上繞四圈，發現彈簧秤的示數幾乎等於零。
對上述現象，小明進行了歸納分析，得出了結論。
根據你的閱讀，請回答下列問題：
(1)小明同學可以得出乙個什麼結論？
(2)這一結論在日常生活、生產中有何應用？請列舉兩例。
(3)小明在上述研究過程中採取了怎樣的思維程式？
分析與解：(1)結論：纏繞的圈數越多，摩擦力就越大。
(2)應用舉例：①船靠岸時，將纜繩在纜柱上繞幾圈。②繫鞋帶。
③兩段電線擰在一起要相互纏繞。
(3)思維程式：提出問題——搜尋事實(或實驗)——歸納分析——得出結論。
[例3]某船在靜水中航速為36km/h，船在河中逆流而上，經過一座橋時，船上的乙隻木箱不慎被碰落水中，經過2min，船上的人才發現，立即調轉船頭追趕，在距橋600m處追上木箱，則水的流速是多少m/s？
分析與解：在研究機械運動時，通常選地面或固定在地面上的物體為參照物。但參照物的選取是任意的。
我們要選擇合適的參照物，使問題簡單化。本題參照物有兩種解法，一種選地面為參照物，容易理解，但十分繁瑣。一種選河水為參照物，比較簡便。
解法一∶以地面為參照物。設船速為v船，水的流速為v水，船逆流而上的時間t1＝2min＝120s。船調轉船頭順流而下的時間為t2。
船逆流而上對地的速度為v船－v水，順流而下對地的速度為v船＋v水。木箱順水而下的速度與水速相同，根據路程的等量關係：船順流而下的路程減去船逆流而上的路程，即為木箱在這段時間通過的路程。
即：（v船＋v水）t2－（v船－v水）t1
＝v水（t1＋t2）化簡後得到v船t2＝v船t1
∴t2＝t1＝120s
∵v水（t1＋t2）＝600m ∴v水＝2.5m/s
解法二∶以河水為參照物，河水靜止，木箱落入水中保持靜止狀態。船逆流和順流時相對於河水的速度都為v船，因此，船追趕木箱的時間和自木箱落水到發覺的時間相等，即等於2min＝120s，木箱落入水中漂流時間為120s＋120s＝240s，漂流距離為600m。故木箱漂流速度即水的流速
[練習3]在一靜水湖的南北兩岸，有兩隻船同時相向開出，各以其速度垂直於湖岸勻速駛向對岸。兩船在離北岸800m處迎面相會，相會後繼續駛向對岸。靠岸後立即返航，兩船又在離南岸600m處迎面相會。
若不計兩船靠岸時間，求湖寬。
分析與解：設湖寬為s公尺，從北岸出發的船行駛速度為v1，從南岸出發的船行駛速度為v2，兩船第一次相會，行駛時間相等，依據題意有
兩船第二次相會，行駛時間也相等，依據題意有
聯立式和式，將看作乙個未知數可得：s＝1800m
另解：根據題意可知，兩船第一次相會時，兩船通過的路程之和為湖寬s，此時從北岸出發的船通過的路程為800m。兩船第二次相會時，兩船通過的路程之和是3s，從北岸出發的船通過的路程為(s＋600)m。
根據路程之比等於速度之比，則有
解之s＝1800m
[例4]相距3750m的甲、乙兩車站之間有一條筆直的公路，每隔2min有一輛電單車由甲站出發以20m/s的速度勻速開往乙站，每一輛電單車在抵達乙站後都立即掉頭以10m/s的速度勻速開回甲站。這樣往返的車輛共有48輛；若在第一輛電單車開出的同時，有一輛汽車由甲站出發勻速開始乙站，速度為15m/s，那麼汽車抵達乙站前最後將與從甲站開出的第輛電單車迎面相遇，相遇處距乙站 m。
分析與解：電單車從甲地到乙地所需時間為t1＝s/v1＝3750m/(20m/s) ＝187.5s
設汽車速度為v＝15m/s 電單車從乙地開往甲地的速度v2＝10m/s
設汽車抵達乙站前最後與甲站開出的第n輛電單車相遇，相遇時汽車行駛的時間為t。
由題意知，每隔2min即δt＝120s有一輛電單車由甲站開出，則相遇時，第n輛電單車行駛的時間為t－δt(n－1)，第n輛電單車從到乙站後和汽車相遇所經歷的時間為
t－δt(n－1)·t1
依據題意，電單車在t－δt(n－l)－t1這段時間內行駛的距離與汽車在時間t內行駛的距離之和正好等於甲、乙兩地之間的距離。即
vt＋v2[t－δt(n－1)－t1]＝s 化簡得(v＋v2)t＝s＋v2t1＋v2δt(n－1)
15m/s＋10m/s)t＝3750m＋10m/s×187.5s＋10m/s×120s(n－1)
整理得25m/s×t＝4425m＋1200m×n
汽車從甲地到乙地所需時間
故t＜t0＝250s
n為正整數
當n＝1時可得t＝225s
當n＝2時可得t＝273s＞t0＝250s
則根據上述分析，當n≥2時，都不合題意，只能取n＝1，此時t＝225s
汽車行駛距離為s1＝vt
此時汽車離乙站距離
s2＝s－s1＝s－vt ＝3750m－15m/s×225s＝375m
即汽車抵達乙站前最後將與從甲站開出的第1輛電單車相遇，相遇處距乙站375m。
[練習4]甲、乙兩輛汽車沿平直公路從某地同時駛向同一目標，甲車在前一半時間裡以速度ｖ1做勻速直線運動，後一半時間裡以速度ｖ2做勻速直線運動；乙車在前一半路程中以速度ｖ1做勻速直線運動，後一半路程中以速度ｖ2做勻速直線運動則：
ａ、甲車先到達 ｂ、乙車先到達 ｃ、甲、乙同時到達 ｄ、不能確定。
分析和解：甲車的平均速度：
乙車的平均速度：
所以由有t甲＜t乙
即甲車先到，正確答案是：ａ
[例5]用手握住乙個啤酒瓶，啤酒瓶開口向上靜止在手中不動，以下說法中正確的是：
ａ、啤酒瓶靜止在手中，是由於受到靜摩擦力的作用；
ｂ、隨著手握啤酒瓶的力增大，瓶子所受的靜摩擦力也將增大；
ｃ、手握啤酒瓶的力增大時，瓶子所受的靜摩擦力並未增大；
ｄ、若啤酒瓶原來為空瓶，那麼向瓶內注水的過程中瓶仍靜止，即使手握瓶的力大小不變，瓶所受的靜摩擦力也將增大。
分析與解：人用手握住啤酒瓶，由於瓶受重力作用，有從手中下滑的趨勢，瓶與手之間存在摩擦，啤酒瓶受到向上的摩擦力。當瓶子所受摩擦力等於瓶的重力數值時，瓶靜止在手中不動，瓶與手相對靜止，瓶受到的摩擦力是靜摩擦力。
當手握瓶的力增大時，瓶子受到的靜摩擦力並不隨之增大，仍與瓶的重力相等。在向瓶內注水的過程中，瓶及水的總重增大，瓶從手中下滑的滑趨增強，為維持瓶靜止，手對瓶的靜摩擦力也隨之增大，保持與瓶的總相等。但靜摩擦力不可能無限增大，當增大到某個最大值時，若再向瓶內注水，平衡狀態就會被破壞，瓶將從手中滑下。
這個靜摩擦力的最大值就做最大靜摩擦力。
由上可知，正確答案為a、c、d
[練習5]如圖，abcd是4塊質量相同的磚，每塊重50牛，a、d兩側是兩塊豎直的木板，木板外側分別用1000牛的力壓緊，磚處於靜止狀態。求：b磚與c磚之間的摩擦力?
分析與解：先以abcd整體為研究物件，整體受重力為g總＝50×4＝200（n），另外ａ的左側（即整體的左側）和ｄ的右側（即整體的右側）各受乙個向上的靜摩擦力ｆ，由平衡條件知：2f＝g總，則f＝g/2＝200/2＝100（n）。
再以ａｂ兩塊磚為研究物件，ａｂ總重力為ｇab＝100牛，已與a左側的靜摩擦力f平衡，故ｂ的右側不受摩擦力。若以ｃｄ為研究物件，同理可得ｃ的左側不受摩擦力，因此，ｂｃ之間的摩擦力為零。
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