第六章結構位移計算
§6-1 概述
1. 位移種類
圖6.1
(1) 線位移，c、d、k；(2) 角位移，a、b、k；(3) 相對線位移，c=d=cd；
(4) 相對角位移，。
2. 計算位移的目的
(1) 校核結構剛度，尤其是大型結構與高層建築；(2) 施工控制與定位；(3) 解超靜定結構的需要。
3. 產生位移的原因
荷載，支座移動，溫度變化，材料收縮，製造誤差等。
對於靜定結構，只有荷載產生內力，但產生位移的原因有多種。超靜定結構，多種原因均產生內力與位移。
4. 位移計算原理
變形體虛功原理。
§6-2 變形體的虛功原理
1. 實功與虛功
實功：，w=fs。
，wf，，。
虛功：， (實功，恒為正)；，外力虛功，內力有m與fs，也作功，稱為內力虛功，虛功可正可負。虛功就是作功的力與位移沒有關係。
2. 質點系虛功原理(虛位移原理)
虛位移：乙個體系發生約束條件許可的任何微小位移。即(1) 是可能的位移狀態；(2) 微小性。
質點系虛位移原理：具有理想約束的質點系，在某一位置處於平衡的必要且充分條件是，對於任何虛位移，作用於質點系上的主動力所作虛總和為0.
(1) 理想約束：約束反力在虛位移上的虛功恒為0稱為理想約束。
(2) 主動力即作用荷載，不包括約束反力。
(3) 虛位移即可能的位移狀態，即有可能。
剛體：任兩點距離保持不變，可認為任兩點之間有剛性鏈杆相連(理想約束)，即剛體是具有理想約束的質點系。
剛體體系：若干個剛體用理想約束連線起來的體系。
剛體虛位移原理：剛體體系處於平衡狀態的必要且充分條件是，對於任意虛位移，所有主動力所作虛功總和為0. (注意，此處包括所有外力，即荷載與約束反力)
3. 變形體虛功原理
變形體處於平衡狀態的必要且充分條件是，對於任何虛位移，外力所作虛功總和等於內力在其虛變形上所作的虛功總和。即
外力虛功=變形虛功，w外=w變
下面從物理概念出發說明虛功原理的正確性。
圖6.2
(1) 受力平衡狀態，虛位移狀態，二者互不相關；
(2) w總，體系中所有的力在虛位移上所作虛功總和。所有的力分為，外力與內力，所以，
w總=w外+w內，dw總=dw外+dw內 (微段ds上)
，因為相鄰微段上的內力為作用力與反作用力，大小相等，方向相反，作的虛功相互抵消。
有， (3) 又，總虛位移=剛體位移(abcda』b』c』d』)+變形位移(a』b』c』d』 a』b』c』』d』』)
，微段ds上有，
，此為剛體虛功原理
有， 綜上，有，w外=w變，此即變形體虛功原理，虛功方程
4. 虛功的計算
外力虛功，
變形虛功：所有力在虛變形所作的功。
微段ds上的所有力見上頁圖，其中荷載f、m、q等在虛變形上不作功。所以，變形虛功即為內力m、fs、fn在虛變形上所作的虛功。微段ds有三種變形
圖6.3
變形虛功，，
5. 虛功原理的應用
(1) 給定力狀態，另虛設乙個位移狀態，由虛功方程求解力狀態中的未知力，稱為虛位移原理。
(2) 給定位移狀態，另虛設乙個力狀態，由虛功方程求解位移狀態中的未知位移，稱為虛力原理。
下面就是利用虛力原理推導結構位移計算的一般公式。
§6-3 位移計算的一般公式單位荷載法
圖6.4
結構任一點k，位移到k』，k點的位移可分解成沿x、y方向的兩個位移分量。下面，求=?
為求，虛設單位力狀態，如圖示。
虛功方程，
， 於是，有
，位移計算的一般公式
注意：(1)、、、為虛設單位力狀態下的內力與反力；(2)、、為實際位移狀態下微段ds的軸向變形、剪下變形與彎曲變形。
單位荷載法：根據所求位移施加相應的單位力。
(a) w外=1ax=ax (b) w外=1a=a (c) w外=1(a+b) =ab (d) w外=1(a+b) =ab
圖6.5
圖6.6
(1) 求杆ab的轉角ab，
(2) 求杆ab與杆bc的相對轉角，即夾角θ的改變，加一對反向的單位力偶，如圖示。
§6-4 靜定結構荷載作用下的位移計算
位移計算的一般公式為
現僅考慮荷載作用這乙個因素，有
式中、、為微段ds荷載作用下的軸向變形、剪下變形與彎曲變形。
實際狀態下，內力fnp、fsp、mp作用在微段ds上，產生變形如下圖示
圖6.7
(1) 軸向變形，, ,；
(2) 剪下變形，微段ds在剪力fsp作用下，產生剪應變γp，由材料力學知，，k為截面剪應力不均勻分布的修改係數，如何來的可參見教材p99。矩形截面，k=1.2；圓形截面，k=10/9；
(3) 彎曲變形，由材料力學中彎曲變形公式，，曲率，則，。
將以上結果，代入前面的計算公式中，有
軸向變形引起的位移剪下變形引起的位移彎曲變形引起的位移
注意：以上結果僅適用於直杆組成的結構(材料力學公式僅適用於直杆)，對於小曲率杆桿可近似成立。
例6-1 圖示剛架，求ay.
圖6.8
計算公式為
，看看軸向變形與剪下變形對位移影響大不大？
(ab杆) + (bc杆)
=討論：設截面為矩形截面，寬b，高h，a=bh，，k=1.2，有
設，g=0.4e，，有，
所以，對於細長杆，軸向變形與剪下變形通常可忽略不計。
位移計算公式的簡化
(1) 梁與剛架，位移主要由彎曲變形引起，軸向變形與剪下變形引起的位移很小，一般可忽略
，圖乘運算
(2) 桁架，只有軸力
(3) 組合結構：受彎杆(僅考慮彎曲一項)+鏈杆(只有軸力)
例6-2 等截面圓弧曲梁，求bx。設梁的截面高度h<圖6.9
小曲率杆，仍可近似用直杆的計算公式。對於梁，只考慮彎矩一項，不計軸向與剪下變形的影響，計算公式為
設下側受拉為正，, ,
()實際方向與假設方向相反
例6-3 桁架，各桿ea相同，求cx。
圖6.10
桁架，只有軸力，位移計算公式為
§6-5 圖乘法
梁與剛架，，一定條件下，積分運算可由圖乘運算來代替。
1. 圖乘法適用條件
對於圖乘的杆段，(1) 杆軸線為直線；(2) ei=const. (3)與mp至少有乙個為直線圖形。
2. 圖乘法原理
圖6.11
下面看積分的結果是什麼
xdω為微面積dω對o點的靜矩，由合力矩定理，有，，xctgα=yc。
所以，有，，積分運算可由圖乘運算來代替，分段積分變成分段圖乘。
3. 圖乘法注意事項
(1) 適用條件：梁與剛架，直線，ei=c，與mp中至少有乙個為直線。
(2) 圖乘結果正負號規定：ω與y在同一側取正號，反之取負號。
(3) 常見圖形的面積與形心
圖6.12
(4) 複雜圖形的分解
圖6.13
(5) yc必須在直線圖形上取：要避免以下錯誤
圖6.14
(6) 圖乘的杆端上ei必須是常數：下圖必須分段圖乘
圖6.15
例6-4 剛架，求cd
圖6.16
例6-5 剛架，求ay，並繪出變形曲線。
圖6.17
()例6-6 伸臂梁，ei=c，求cy。
例6-7 組合結構，求dy。
圖6.19
§6-6 靜定結構溫度變化時的位移計算
靜定結構，除荷載外，其他因素均不產生內力，但可引起位移。但溫度變化時，結構會產生變形與位移。下面推導溫度變化引起的位移計算的公式。位移計算的一般公式(虛功原理，單位荷載法)為
如圖示，要求kt，首先要分析清楚溫度變化引起的微段ds變形情況。
1. 微段ds的變形
圖6.20
已知材料線膨脹係數為α，設溫度截面高度的變化為線性變化，這樣截面變形後仍為平面，杆軸線處的溫度變化為，，當，有。
由圖知，溫度變化不產生剪下變化，有軸向變形dut與彎曲變形dt。
，，此處t=t2-t1。
於是，有
1. 位移計算公式
等截面直杆，h為常數，有
、分別為與圖的面積。
符號規定：
(1) 溫度變化，如t1，t2，t，公升溫為正，降溫為負；
(2) 軸力，拉力為正，壓力為負；
(3) 彎矩，使t2側受拉為正，反之為負。
梁與剛架，溫度變化產生的軸向變形一般較大，不能忽略。
桁架， =0，有，，
桁架，各桿有製造誤差l，由製造誤差引起的位移，可按下式計算，。
例6-8 圖示剛架，施工時溫度為20 oc，冬季外側溫度為-10 oc，內側溫度為0 oc，求a點豎向位移ay。
已知，l=4m，α=10-5，桿件橫截面為矩形，高度h=0.4m。
圖6.21
t1= -30oc, t2= -20oc, t= -25oc, t=t2-t1=10oc.
若令內側為t1= -20oc, 外側為t2= -30oc, 則t= -25oc, t=t2-t1= -10oc.
，結果相同。
§6-7 靜定結構支座移動時的位移計算
圖6.22
靜定結構，支座移動，產生剛體位移，不產生變形和內力，由
得， 例6-9 三鉸剛架，支座移動，l=12m，h=8m，求a。
圖6.23
rad()
§6-8 線彈性結構的互等定理
互等定理是結構力學中的重要定理，在力法、位移法及有限元分析中有重要應用。
線彈性材料：應力-應變關係為線性關係，服從廣義虎克定律。
線彈性結構：由線彈性材料組成的結構，其荷載-位移曲線是線性關係。
互等定理有4個，最基本的是功的互等定理。
1. 功的互等定理
圖6.24
狀態i與狀態ii互不相關，支座無移動，反力不作功。由變形體虛功原理，w外=w變，有
所以，，即，
狀態i的外力在狀態ii的位移上所作的虛外力功=狀態ii的外力在狀態i的位移上所作的外力虛功
稱為虛功互等定理。
2. 位移的互等定理
圖6.25
是功的互等定理的特例。功的互等定理中，，令，f1=f2=1，有
，或，，結構柔度係數δij，
j方向單位力引起的i方向的位移= j方向單位力引起的i方向的位移，位移互等定理
線位移與線位移互等，角位移與角位移互等，線位移與角位移也可以互等。
圖6.26
3. 反力的互等定理
也是功的互等定理的特例。
圖6.27
由功的互等定理，w12=w21，有，，，即，結構的剛度係數
j方向單位位移引起的i方向的反力=i方向單位位移引起的j方向的反力，反力互等定理。
反力與反力偶也可以互等。
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