高中數學必修1課堂筆記
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含義與表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.
（2）常用數集及其記法
表示自然數集， 或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.
（3）集合與元素間的關係
物件與集合的關係是，或者，兩者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.
②列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，寫在大括號內表示集合.
③描述法：，其中為集合的代表元素.
④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.
（5）集合的分類
①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
【1.1.2】集合間的基本關係
（6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.
【1.1.3】集合的基本運算
（8）交集、並集、補集
〖補充知識〗含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法
（1）含絕對值的不等式的解法
（2）一元二次不等式的解法
〖1.2〗函式及其表示
【1.2.1】函式的概念
（1）函式的概念
①設、是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對於集合中任何乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的乙個函式，記作．
②函式的三要素:定義域、值域和對應法則．
③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函式才是同一函式．
（2）區間的概念及表示法
①設是兩個實數，且，滿足的實數的集合叫做閉區間，記做；滿足的實數的集合叫做開區間，記做；滿足，或的實數的集合叫做半開半閉區間，分別記做，；滿足的實數的集合分別記做．
注意：對於集合與區間，前者可以大於或等於，而後者必須
．（3）求函式的定義域時，一般遵循以下原則：
①是整式時，定義域是全體實數．
②是分式函式時，定義域是使分母不為零的一切實數．
③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合．
④對數函式的真數大於零，當對數或指數函式的底數中含變數時，底數須大於零且不等於1．
⑤中，．
⑥零（負）指數冪的底數不能為零．
⑦若是由有限個基本初等函式的四則運算而合成的函式時，則其定義域一般是各基本初等函式的定義域的交集．
⑧對於求復合函式定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函式的定義域應由不等式解出．
⑨對於含字母引數的函式，求其定義域，根據問題具體情況需對字母引數進行分類討論．
⑩由實際問題確定的函式，其定義域除使函式有意義外，還要符合問題的實際意義．
（4）求函式的值域或最值
求函式最值的常用方法和求函式值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函式的值域中存在乙個最小（大）數，這個數就是函式的最小（大）值．因此求函式的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同．求函式值域與最值的常用方法：
①觀察法：對於比較簡單的函式，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．
②配方法：將函式解析式化成含有自變數的平方式與常數的和，然後根據變數的取值範圍確定函式的值域或最值．
③判別式法：若函式可以化成乙個係數含有的關於的二次方程，則在時，由於為實數，故必須有，從而確定函式的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式確定函式的值域或最值．
⑤換元法：通過變數代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函式的最值問題轉化為三角函式的最值問題．
⑥反函式法：利用函式和它的反函式的定義域與值域的互逆關係確定函式的值域或最值．
⑦數形結合法：利用函式圖象或幾何方法確定函式的值域或最值．
⑧函式的單調性法．
【1.2.2】函式的表示法
（5）函式的表示方法
表示函式的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．
解析法：就是用數學表示式表示兩個變數之間的對應關係．列表法：就是列出**來表示兩個變數之間的對應關係．圖象法：就是用圖象表示兩個變數之間的對應關係．
（6）對映的概念
①設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對於集合中任何乙個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那麼這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的對映，記作．
②給定乙個集合到集合的對映，且．如果元素和元素對應，那麼我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
〖1.3〗函式的基本性質
【1.3.1】單調性與最大（小）值
（1）函式的單調性
①定義及判定方法
判定方法：①②③④
1 定義法（證明只能用定義法）
2 影象法（在某個區間圖象上公升為增函式，在某個區間圖象下降為減函式）
③性質法：※復合函式的單調性：
1、2、對於復合函式，令，若為增，
為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．
3、加減函式增減性
對於f(x)=g(x)+f(x)，有如下性質：在公共定義域內，兩個增函式的和是增函式，兩個減函式的和是減函式，增函式減去乙個減函式為增函式，減函式減去乙個增函式為減函式．即：
1、增＋增=增
2、減＋減=減
3、增－減=增
4、減－增=減
5、增－增=不能確定
6、減－減=不能確定
7、增＋減=不能確定
4、相乘函式增減性對於f(x)=g(x)×f(x) ,一切皆無定則.
④奇偶法：在已確定函式奇偶性時，奇函式在軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函式在軸兩側相對稱的區間增減性相反．
（2）打「√」函式的圖象與性質
分別在、上為增函式，分別在、上為減函式．
（3）最大（小）值定義
①一般地，設函式的定義域為，
如果存在實數滿足：（1）對於任意的，
都有； （2）存在，使得．那麼，我們稱是函式的最大值，記作．
②一般地，設函式的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對於任意的，都有；（2）存在，使得．那麼，我們稱是函式的最小值，記作．
（4）※復合函式單調區間的求法
定義由函式和所構成的函式稱為復合函式，其中通常稱為外層函式，稱為內層函式。
求上述復合函式的單調區間，我們一般可以按照下面這幾個步驟來進行：
（1） 寫出構成原復合函式的外層函式和內層函式；
（2） 求外層函式的單調區間（包括增區間和減區間）等；
（3） 令內層函式，求出的取值範圍；
（4） 若集合是內層函式的乙個單調區間，則便是原復合函式的乙個單調區間；若不是內層函式的乙個單調區間，則需把劃分成內層函式的若干個單調子區間，這些單調子區間便分別是原復合函式的單調區間；
（5） 根據復合函式「同增異減」的復合原則，分別指出原復合函式在集合或這些單調子區間的增減性；
（6） 令內層函式，同理，重複上述（3）、（4）、（5）步驟。若外層函式還有更多的單調區間、，則同步驟（6）類似，不斷地重複上述步驟。
例1 求函式的單調區間
解原函式是由外層函式和內層函式復合而成的；
易知是外層函式的單調增區間；
令，解得的取值範圍為；
由於是內層函式的乙個單調減區間，於是便是原函式的乙個單調區間；
根據復合函式「同增異減」的復合原則知，是原函式的單調減區間。
例2 求函式的單調區間.
解原函式是由外層函式和內層函式復合而成的；
易知是外層函式的單調減區間；
令，解得的取值範圍為；
結合二次函式的圖象可知不是內層函式的乙個單調區間，但可以把區間劃分成內層函式的兩個單調子區間和，其中是其單調增區間，是其單調減區間；
於是由復合函式「同增異減」的復合原則可知，是原函式的單調減區間，是原函式的單調增區間。
例3 求函式的單調區間.
解原函式是由外層函式和內層函式復合而成的；
易知和都是外層函式的單調減區間；
令，解得的取值範圍為；
結合二次函式的圖象可知不是內層函式的乙個單調區間，但可以把區間劃分成內層函式的兩個單調子區間和，其中是其單調減區間，是其單調增區間；
於是根據復合函式「同增異減」的復合原則知，是原函式的單調增區間，是原函式的單調減區間。
同理，令，可求得是原函式的單調增區間，是原函式的單調減區間。
綜上可知，原函式的單調增區間是和，單調減區間是和.
【1.3.2】奇偶性
（4）函式的奇偶性
①定義及判定方法
判定方法：
（1）先判斷定義域是否關於原點對稱！！！
（2）下一步有三種方法：
①定義法：如果給出的函式表示式比較複雜，應盡量先化簡再尋找f(-x)與f(x)的關係，從而判斷奇偶性。
例如：判斷下列函式的奇偶性
(1) (2) f(x)=x2-4|x|+3
解：(1) 定義域為(-1，1]，不關於原點對稱， 所以f(x)既不是奇函式，也不是偶函式。
(2)定義域為r，
f(-x)＝(-x)2-4|-x|+3＝x2-4|x|+3＝f(x), 所以f(x)為偶函式。
②影象法：圖象關於原點對稱還是圖象關於y軸對稱
③性質法：在公共定義域內，兩個偶函式（或奇函式）的和（或差）仍是偶函式（或奇函式），兩個偶函式（或奇函式）的積（或商）是偶函式，乙個偶函式與乙個奇函式的積（或商）是奇函式．
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第一章集合與函式概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含義與表示 1 集合的概念 集合中的元素具有確定性 互異性和無序性.2 常用數集及其記法 表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.3 集合與元素間的關係 物件與集合的關係是，或者，兩者必居其一.4 集合的表示法 自然語...
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反之 集合a不包含於集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a 2 相等 關係 5 5，且5 5，則5 5 例項 設 a b 元素相同 結論 對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等於集合b，即 a b 任何乙個...
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第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1 集合的含義 某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。2 集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性 2 元素的互異性 3 元素的無序性 說明 1 對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。2...