第一章集合與函式的概念
一、集合的含義與表示
1.集合的概念：一般地，我們把研究物件稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.
集合中的元素的特性：①確定性；②互異性；③無序性.
例1：已知集合a中有三個元素：即. 若，求實數的值.
2.常用數集及其記法
自然數集： 整數集： 正整數集：或有理數集： 實數集：
3.元素與集合間的關係：；或者.
集合與集合之間的關係：，或（注：中注意分類討論：與）
例2：已知集合，，若，求實數的值.
4.集合間的基本關係
1．子集：
2．真子集：
3．集合相等：
集合的個數：已知集合有個元素，
則它有個子集，有個真子集，有個非空子集，有非空真子集.
例3：若全集，,則集合的子集個數有多少個？非空真子集個數有多少個？
二、集合的基本運算
1．交集： 且圖形略
2．並集： 或
3．補集：
例4：已知集合，,求，，.
補充：含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法
1含絕對值的不等式的解法
不等式的解集為；不等式的解集為或
2一元二次不等式的解法：
(1).把二次項的係數化為正； (2).求對應方程的根；（3）若對應方程的，大於取兩邊，小於取中間.
例5：解不等式（1）；（2）；（3）.
三、函式的概念
1.函式的概念
(1)①設、是兩個非空的數集，②如果按照某種對應法則，③對於集合中任意乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應叫做集合到的乙個函式，記作．
(可以是一對一，多對一，不能一對多)
(2)函式的三要素：定義域、值域和對應法則．
(3)同一函式：定義域相同，且對應法則也相同．
例1：（1）是不是函式？ （2）與是同一函式嗎？
2.區間的概念及表示法
設是兩個實數，且，滿足的實數的集合叫做閉區間，記做；
滿足的實數的集合叫做開區間，記做；
滿足，或的實數的集合叫做半開半閉區間，分別記做，；
滿足的實數的集合分別記做．
3．求函式的定義域時，一般遵循以下原則：
(1)是分式函式時，定義域是使分母不為零的一切實數. 例2：求的定義域.
(2)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合． 例3：的定義域.
(3) 零指數冪的底數不能為零． 例4：求的定義域．
(4)對數函式的真數大於零，當對數或指數函式的底數中含變數時，底數須大於零且不等於1．
例5：求的定義域.
4求函式的值域或最值
求函式值域與最值的常用方法：
(1) 圖象法：對於比較簡單的函式，可以通過觀察圖象直接得到值域或最值，遇到二次函式要先配方再畫圖．
例6：（12）二次函式：
(2)換元法：通過變數代換達到化繁為簡、化難為易的目的.例7：求的值域
(3)分離常數法例8：求的值域.
(4)函式的單調性法．例9：求.
四、函式的表示方法
1.表示函式的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．
例題：求函式解析式的一般方法
1、待定係數法例1：是一次函式，且，求.
2、換元法例2：，求.
3、配湊法例3：，求.
4、構造方程組法例4：設滿足，求.
5、賦值法
例5：已知，對於任意實數，等式恆成立，求.
6、利用函式的奇偶性
例6：已知函式是定義域為的奇函式，當時，.求函式在上的解析式.
五、分段函式與對映
(1)對映的概念：①設、是兩個集合；如果按照某種對應法則；對於集合中任意乙個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那麼這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的對映，記作．(可以是一對一，多對一，不能一對多)
例1：集合，集合，則集合a到集合b的對映有多少個？
例2： 求的值.
六、函式的單調性
(1)定義及判定方法
1．增函式：如果對於屬於定義域內某個區間上的任意兩個自變數的值、,
當時，都有，那麼就說在這個區間上是增函式．
2．減函式：如果對於屬於定義域內某個區間上的任意兩個自變數的值、，
當，都有，那麼就說在這個區間上是減函式．
（2）對於求復合函式的單調性（同增異減），其步驟為：
對於復合函式的單調性（同增異減），其步驟為：
先求出函式的定義域；
設內函式，求內函式在定義域上的單調性，同時給出外函式的單調性；
利用同增異減，得出結論.
例1：求的單調性.
2.雙「√」函式的圖象與性質
在、上為增函式，
在、上為減函式．
例2：求的值域.
3．最大（小）值定義
（1）一般地，設函式的定義域為，如果存在實數滿足：對於任意的，都有；存在，使得．那麼，我們稱是函式的最大值，記作．
（2）一般地，設函式的定義域為，如果存在實數滿足：對於任意的，都有；存在，使得．那麼，我們稱是函式的最小值，記作．
例3：求在上的最大值和最小值.
例4：求在上的最大值和最小值.（注意先配方再畫圖）
七、奇偶性
1、定義及判定方法
奇函式：如果對於函式定義域內任意乙個，都有,那麼函式叫做奇函式．
判定方法（1）利用定義（要先判斷定義域是否關於原點對稱）（2）利用圖象（圖象關於原點對稱）
偶函式：如果對於函式定義域內任意乙個，都有,那麼函式叫做偶函式，
判定方法（1）利用定義（要先判斷定義域是否關於原點對稱）（2）利用圖象（圖象關於軸對稱）
2．若函式為奇函式，且在處有定義，則．
例1：設是定義在上的奇函式. 當時，（為常數），求的值.
3． 奇函式在關於原點對稱的兩個區間內單調性相同，偶函式在關於原點對稱的兩個區間內單調性相反．
例2：若是奇函式，且在內是增函式，又有，求解集.
補充：函式的圖象
1.作圖：利用描點法作圖：
(1)確定函式的定義域2)化解函式解析式；
(3)討論函式的性質（奇偶性、單調性）； (4)畫出函式的圖象．
利用基本函式圖象的變換作圖：
要準確記憶一次函式、二次函式、反比例函式、指數函式、對數函式、冪函式等各種基本初等函式的圖象．
(1)平移變換
； 例1：畫，，的圖象.
(2)對稱變換
；；(2)翻摺變換
例2：畫的圖象.
例3：畫的圖象例4：畫的圖象.
附：一元二次函式常見題型
題型一：二次函式的畫法
例1：已知，求：頂點座標、對稱軸方程、與軸的交點、最小值，並畫出其影象.
題型二：求二次函式的最值
例2：已知，求出其最值.
變式：已知，求此函式的最值.
例3：已知在區間上有最大值2，求的值.（注意分類討論）
題型三：利用單調性二次函式中引數的取值
例4：已知在區間上為減函式，求的取值範圍.
題型四：二次函式的區間恆成立問題
例5：已知，若在區間上恆成立，求的取值範圍.
題型五：一元二次函式零點的分布問題：
例6：關於的方程有兩實根，且乙個大於4，乙個小於4，求的取值範圍.
題型六：引數的取值範圍
例7：已知（）
求：若定義域為,求的取值範圍；
若值域為，求的取值範圍.
第二章基本初等函式(ⅰ)
一、指數函式
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果，那麼叫做的次方根，其中，且．
◆ 負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作.
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
， ◆ 0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義.
3．實數指數冪的運算性質
（1） ; （2）;
（3）.
例1： 計算下列各式：
（12）
（34）
（二）指數函式及其性質
1．指數函式的概念：一般地，函式叫做指數函式，其中是自變數，函式的定義域為.
2．指數函式的影象與性質
以上為指數函式自身的性質，其還有如下性質：
1． 當時，與的影象關於軸對稱.
2． 在第一象限，指數函式的圖象從下往上看，底數從小變到大.
(根據圖象判斷指數函式底數大小的方法)
（三）指數函式性質的應用
一、求定義域： 例1： 求的定義域.
附：解指數不等式（化為同底，用單調性，分類討論）
當時，；當時，.
例2：當且時，若，求的取值範圍.
二、求值域例3：求的值域.
變式：求的單調區間.（復合函式的單調性：同增異減）
三、比較大小
1．同底——利用單調性
例42．同指——影象法
性質：當時，若，則；當時，若，則
例53．都不同——影象法，取中間值「0」、「1」、「找與乙個同底，與另乙個同指」
例6二、對數函式
（一）對數與對數的運算
1．對數的概念：一般地，如果，那麼數叫做以為底的對數，記作：（— 底數，— 真數，— 對數式）
說明：注意底數的限制，且；
；注意對數的書寫格式．
兩個重要對數：
常用對數：以10為底的對數；
自然對數：以無理數為底的對數的對數．
◆ 指數式與對數式的互化 ： ＝ n＝ b
由上述互化式得：
（二）對數的運算性質
如果，且，，，那麼：
·＋； ②－；
．注意：換底公式（，且；，且；）．
利用換底公式推導下面的結論
（12）．
例1：求下列各式的值：
（二）對數函式及其性質
1、對數函式：函式，且叫做對數函式，其中是自變數，函式的定義域是（0，+∞）．
注意：對數函式對底數的限制：，且．
2、，且，與互為反函式.
互為反函式的兩個函式的圖象關於直線對稱.
點關於直線的對稱點.
3、對數函式的性質：
例2：1判斷下列各數的正負：（兩大兩小，對數大於0；一大一小，對數小於0）
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第一章集合與函式概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含義與表示 1 集合的概念 集合中的元素具有確定性 互異性和無序性.2 常用數集及其記法 表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.3 集合與元素間的關係 物件與集合的關係是，或者，兩者必居其一.4 集合的表示法 自然語...
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反之 集合a不包含於集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a 2 相等 關係 5 5，且5 5，則5 5 例項 設 a b 元素相同 結論 對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等於集合b，即 a b 任何乙個...
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第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1 集合的含義 某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。2 集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性 2 元素的互異性 3 元素的無序性 說明 1 對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。2...