北師大版九年級(下冊)數學定理知識點彙總
第一章直角三角形邊的關係
※一. 正切：定義：在rt△abc中，銳角∠a的對邊與鄰邊的比叫做∠a的正切，記作tana，即;①tana是乙個完整的符號，它表示∠a的正切，記號裡習慣省去角的符號「∠」；
②tana沒有單位，它表示乙個比值，即直角三角形中∠a的對邊與鄰邊的比；
③tana不表示「tan」乘以「a」；
④初中階段，我們只學習直角三角形中，∠a是銳角的正切；
⑤tana的值越大，梯子越陡，∠a越大； ∠a越大，梯子越陡，tana的值越大。
※二. 正弦：定義：在rt△abc中，銳角∠a的對邊與斜邊的比叫做∠a的正弦，記作sina，即;
※三. 余弦：定義：在rt△abc中，銳角∠a的鄰邊與斜邊的比叫做∠a的余弦，記作cosa，即;
※餘切：定義：在rt△abc中，銳角∠a的鄰邊與對邊的比叫做∠a的餘切，記作cota，即;
※乙個銳角的正弦、余弦、正切、餘切分別等於它的餘角的余弦、正弦、餘切、正切。
（通常我們稱正弦、余弦互為餘函式。同樣，也稱正切、餘切互為餘函式，可以概括為：乙個銳角的三角函式等於它的餘角的餘函式）用等式表達：若∠a為銳角，則
①；②；
※當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線
所成的銳角稱為仰角
※當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成
的銳角稱為俯角
※利用特殊角的三角函式值表，可以看出，(1)當
角度在0°～90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、餘切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
※同角的三角函式間的關係：
倒數關係：tgα·ctgα=1。
※在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。
◎在△abc中，∠c為直角，∠a、∠b、∠c所對的邊分別為a、b、c，則有
(1)三邊之間的關係：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關係：∠a＋∠b=90°；
(3)邊與角之間的關係：
(4)面積公式: (hc為c邊上的高); (5)直角三角形的內切圓半徑
(6)直角三角形的外接圓半徑
◎解直角三角形的幾種基本型別列表如下：
◎解直角三角形的幾種基本型別列表如下：
※ 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即
◎從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，oa、ob、oc的方位角分別為45°、135°、225°。
◎指北或指南方向線與目標方向線所成的小於90°的水平角，叫做方向角。如圖4，oa、ob、oc、od的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。
第二章二次函式
※二次函式的概念：形如的函式，叫做x的二次函式。自變數的取值範圍是全體實數。 是二次函式的特例，此時常數b=c=0.
※寫二次函式的關係式時，一定要尋找兩個變數之間的等量關係，列出相應的函式關係式，並確定自變數的取值範圍。
※二次函式y＝ax2的圖象是一條頂點在原點關於y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。
描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x軸的交點等方面來描述。
①函式的定義域是全體實數；
②拋物線的頂點在(0，0)，對稱軸是y軸(或稱直線x＝0)。
③當a＞0時，拋物線開口向上，並且向上方無限伸展。當a＜0時，拋物線開口向下，並且向下方無限伸展。
④函式的增減性：
a、當a＞0時b、當a＜0時
⑤當｜a｜越大，拋物線開口越小；當｜a｜越小，拋物線的開口越大。
⑥最大值或最小值：當a＞0，且x＝0時函式有最小值，最小值是0；當a＜0，且x＝0時函式有最大值，最大值是0．
※二次函式的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線
※二次函式的圖象是以為對稱軸，頂點在（，）的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）
※|a|的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢。
※二次函式的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。
※二次函式的圖象與y＝ax2的圖象的關係：
的圖象可以由y＝ax2的圖象平移得到，其步驟如下：
①將配方成的形式；（其中h=，k=）；
②把拋物線向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y=a(x-h)2的圖象；
③再把拋物線向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|個單位，便得到的圖象。
※二次函式的性質：
二次函式配方成則拋物線的
①對稱軸：x頂點座標：（，）
③增減性： 若a>0，則當x《時，y隨x的增大而減小；當x>時，y隨x的增大而增大。
若a<0，則當x《時，y隨x的增大而增大；當x>時，y隨x的增大而減小。
④最值：若a>0，則當x=時，；若a<0，則當x=時，
※畫二次函式的圖象：
我們可以利用它與函式的關係，平移拋物線而得到，但往往我們採用簡化了的描點法----五點法來畫二次函式來畫二次函式的圖象，其步驟如下：
①先找出頂點（，），畫出對稱軸x=； ②找出圖象上關於直線x=對稱的四個點（如與座標的交點等）； ③把上述五點連成光滑的曲線。
¤二次函式的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助圖象觀察。
¤解決最大（小）值問題的基本思路是：
①理解問題； ②分析問題中的變數和常量，以及它們之間的關係； ③用數學的方式表示它們之間的關係； ④做數學求解； ⑤檢驗結果的合理性、拓展性等。
※二次函式的圖象(拋物線)與x軸的兩個交點的橫座標x1，x2是對應一元二次方程的兩個實數根
※拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
>0 <===> 拋物線與x軸有2個交點；
=0 <===> 拋物線與x軸有1個交點；
<0 <===> 拋物線與x軸有0個交點（無交點）；
※當》0時，設拋物線與x軸的兩個交點為a、b，則這兩個點之間的距離：
化簡後即為： ------ 這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距離公式。
第三章圓
一. 車輪為什麼做成圓形
※1. 圓的定義：
描述性定義：在乙個平面內，線段oa繞它固定的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a隨之旋轉所形成的圓形叫做圓；固定的端點o叫做圓心；線段oa叫做半徑；以點o為圓心的圓，記作⊙o，讀作「圓o」
集合性定義：圓是平面內到定點距離等於定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。
對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；
②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。
※2. 點與圓的位置關係及其數量特徵：
如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則
①點在圓上 <===> d=r;②點在圓內 <===> d d>r.
其中點在圓上的數量特徵是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與乙個定點、的距離相等。
二. 圓的對稱性:
※1. 與圓相關的概念：
①弦和直徑： 弦：連線圓上任意兩點的線段叫做弦。 直徑：經過圓心的弦叫做直徑。
②弧、半圓、優弧、劣弧：
弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號「⌒」表示，以cd為端點的弧記為「」，讀作「圓弧cd」或「弧cd」。
半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。
優弧：大於半圓的弧叫做優弧。
劣弧：小於半圓的弧叫做劣弧。(為了區別優弧和劣弧，優弧用三個字母表示。)
③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。
④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。
⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。
⑥等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。
⑦圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.
⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.
※2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸。
※3. 垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。
說明：根據垂徑定理與推論可知對於乙個圓和一條直線來說，如果具備：
過圓心；②垂直於弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧。
上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。
※4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。
推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等.
三. 圓周角和圓心角的關係:
※1. 1°的弧的概念: 把頂點在圓心的周角等分成360份時,每乙份的角都是1°的圓心角,相應的整個圓也被等分成360份,每乙份同樣的弧叫1°弧.
※2. 圓心角的度數和它所對的弧的度數相等.
這裡指的是角度數與弧的度數相等,而不是角與弧相等.即不能寫成∠aob= ,這是錯誤的.
※3. 圓周角的定義: 頂點在圓上,並且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.
※4. 圓周角定理: 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半.
※推論1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；
※推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；
※四. 確定圓的條件:
※1. 理解確定乙個圓必須的具備兩個條件:
圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小.
新北師大九年級數學下冊知識點總結
7.同角的三角函式間的關係 互餘關係sina cos 90 a cosa sin 90 a 平方關係 商數關係 8.解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形 須知一條邊 9.直角三角形變焦關...
北師大九年級數學知識點
北師大版初中數學定理知識點彙總 九年級 上冊 第一章證明 二 等腰三角形的 三線合一 頂角平分線 底邊上的中線 底邊上的高互相重合。等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩個全等的 直角三角形，其中乙個銳角等於30，這它所對的直角邊必然等於斜邊的一半。有乙個角等...
北師大九年級數學上冊知識點彙總
三角形的性質與判定 證明方法 綜合法 反證法 綜合法 審題 找出已知 求證的各量之間的關係 分析解題思路 一般採用逆向思考，即從結論入手，追溯結論成立的理由。書寫推理過程，從已知入手，將分析過程倒著寫出來 反證法 在證明時，先假設命題的結論不成立，然後推導出與定義 公理 已證定理或已知條件相矛盾的結...