三角形的性質與判定：
證明方法：綜合法、反證法
綜合法：①審題：找出已知、求證的各量之間的關係；②分析解題思路：一般採用逆向思考，即從結論入手，追溯結論成立的理由。③書寫推理過程，從已知入手，將分析過程倒著寫出來
反證法：在證明時，先假設命題的結論不成立，然後推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立的方法稱為反證法。
（步驟：①提假設：假設命題的結論不成立，②推矛盾：從假設出發，應用正確的推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果；③得結論：從而肯定命題的結論）
幾種常見的結論和它的否定形式：
「a＞ba≤b」
「a=ba≠b」或「a＜b，a＞b」
「a∥ba與b相交」
「點在直線上」 「點在直線外」
「至少有乙個」 「乙個都沒有」
「至少有兩個」 「至多有乙個」
互逆命題：如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題。 （「條件」與「結論」交換）
互逆定理：如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理，這兩個定理稱為互逆定理。
易錯易混點
1. 如圖z—01，△abc為ad為中線，∠bad=∠dac，求證：ab=ac。
2. 如圖 z—02所示，在△abc中，ad是它的角平分線，且ab=ac，de、df分別是垂直於ab、ac，垂足為e、f，求證be=cf。
典型例題
1. 在△abc中，ab=2，ac=，∠b=30°，則∠bac的度數是
2. 已知：如圖z—03所示，△abc中ab=ac，d是ab上一點，過d作de⊥bc於e，並與ca的延長線相交於f。求證：ad=af。
3. 已知：如圖z—04，在rt△abc中，∠c=90°，∠bac=30°，求證：ab=2bc。
變形題：在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的銳角等於30°.
已知：求證：
4. 如圖z—05所示，在△abc中，∠1=∠2，∠abc=2∠c。求證：ab+bd=ac。
5. 如圖z—06，在△abc中，∠cab=90°，∠c=30°，ad是bc邊上的高，be是∠abc的平分線，ad與be交於點f，求證：△aef是等邊三角形。
6. 摺疊矩形紙abcd，先折出摺痕（對角線）bd，再摺疊使ad邊與對角線bd重合，得摺痕dg，如圖z—07，若ab=2，bc=1，求ag的長。
易錯易混點
1. 已知：如圖zm—12，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e、f，de=df，求證：ad垂直平分ef。
2. 如圖zm—13，p是∠aob的平分線上的一點，oc=od，pc=2cm，求pd的長。
3. 現有不在一條直線上的a、b、c三城.
（1）在a、b城間建一果品批發市場，使其到a、b兩城距離相等，此市場位置惟一麼？它們的位置有什麼關係？
（2）在b、c兩城間建一水果倉庫，使其到b、c兩城距離相等.倉庫位置惟一麼？它們的位置有什麼關係？
（3）為減少運費，現將果品批發市場與倉庫建在同一位置，並分別到兩城距離相等.應如何選址？畫圖說明.
典型例題
1. 已知，如圖zm—14，在△abc中，∠b=70°，de是ac的垂直平分線，且∠bad：∠bac=1：3，則∠c
2. 到三角形三個頂點距離相等的點是（ ）
a. 三條中線的交點 b. 三條角平分線的交點
c. 三條高線的交點 d. 三條中垂線的交點
3. 如圖zm—15，已知△abc中，ad平分∠bac，ef垂直平分線ad交bc的延長線於e，求證：(1) ∠eac=∠b； (2) de2=ce·be.
4. 如圖zm—16，已知△abc中，∠a的平分線與bc的垂直平分線md交於點d，de⊥ab於e，df⊥ac交ac的延長線於f。
求證：cf= (ab—ac).
5. 如圖 zm—17所示，在△abc中，∠b=22.5°，∠c=60°，ab的垂直平分線交bc於d，交ab於f，bd=，ae⊥bc於e，求ec的長。
一元二次方程概念：含有乙個未知數並且未知數的最高次數是2的整式方程。
經過整理後，乙個一元二次方程可化簡為ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。
應從兩方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，則有a≠0； (2) 若a≠0(b、c可以為零)，則ax2+bx+c=0是一元二次方程。
判斷乙個方程是不是一元二次方程，滿足三個條件：①含有乙個未知數並且未知數的最高次數是2;②必須是整式方程；③二次項係數不能為零。簡而言之是指經化簡後，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，則為一元二次方程，否則不是。
估計一元二次方程的解：能使一元二次方程兩邊相等的x的值是一元二次方程的解，估計一元二次方程的解，只是估計「解」的取值範圍，比如在哪兩個數之間。
方法：當相鄰兩個整數，乙個使ax2+bx+c＞0 ，乙個使ax2+bx+c＜0，則一元二次方程的解就介於這兩個數之間。認真觀察代數式的特點和取值走向，才能很快找到這樣的兩個相鄰整數。
易錯易混點
1. 下列關於x的方程：(1) ax2+bx+c=0 ；(2)；(3)；(4)中，一元二次方程的個數是（ ）
a. 1個 b. 2個 c. 3個 d. 4個
2. 判斷方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是關於x的一元二次方程。
(1)一變：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是關於x的一元二次方程，則m應滿足
(2) 二變：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是關於x的一元一次方程，則m的值為
3. m為何值時，關於x的方程是一元二次方程？
典型例題
1. 下列方程是關於x的一元二次方程的是（ ）
a. ax2+bx+c=0 b. k2x+5k+6=0
c. d. (m2+3)x2+2x-2=0
2. 若下列方程是關於x的一元二次方程，求出m的取值範圍。
(1)； (2)
3. 某城市2023年底已有綠化面積300公頃，經過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到2023年底增加到363公頃，設綠化面積平均每年的增長率為x，由題意，所列方程正確的是（ ）
a. 300(1+x)=363 b. 300(1+x)2=363 c. 300(1+2x)=363 d. 363 (1-x)2=300
4. 某種產品，原來每件產品成本是700元，由於連續兩次降價，現在成本為448元，如果每次降低成本的百分數相同，求每次降低成本百分之多少？若設每次降低成本的百分數為x，則第一次降低成本後的成本為第二次降低成本後的成本為這樣可列方程得
5. 已知：直角三角形的周長為，斜邊上的中線長為1，試求這個直角三角形的面積。
6. 如圖 y2—01①所示，用一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在四個角上截去四個相同的小正方形，然後做成如圖y2—01②所示的底面積為1500cm2的沒蓋的長方體盒子。想一想：
應怎樣求出截去的小正方形的邊長？
若設小正方形的邊長為x cm，那麼這個盒子的底部的長及寬分別為cm和________cm，根據題意，可得方程整理成一般形式得
★直接開平方法：對於形式如（n≥0）的方程，根據平方根的意義，即兩邊同時開平方，變形為，得到兩個一次方程，解一次方程得到未知數的值。
★配方法：把一元二次方程通過配成完全平方式的方法轉化為的形式，從而得到這個一元二次方程的根。步驟如下：
(1)把常數項移到方程的右邊；
(2) 把二次項係數化為1，(如果二次項係數不是1，給方程兩邊同除以二次項係數)
(3) 給方程兩邊都加上一次項係數的一半的平方
(4) 方程左邊是乙個完全平方式，將方程變形為的形式
在中，當時，方程有兩個不相等的實數根。
當時，方程有兩個相等的實數根。
當時，方程有兩個相等的實數根。
★公式法：一元二次方程的求根公式： (b2-4ac≥0)，步驟如下：
(1) 把方程化為一般形式，進而確定a、b、c的值（注意符號）
(2) 求出b2-4ac的值，（先判別方程是否有根）
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入求根公式，求出的值，最後寫出方程的根。
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九 上 數學知識點答案 第一章證明 一 1 你能證明它嗎？1 三角形全等的性質及判定 全等三角形的對應邊相等，對應角也相等 判定 sss sas asa aas hl 2 等腰三角形的判定 性質及推論 性質 等腰三角形的兩個底角相等 等邊對等角 判定 有兩個角相等的三角形是等腰三角形 等角對等邊 推...
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