by mwh
（回顧）※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。
※平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。
※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。
第一章特殊平行四邊形
1菱形的性質與判定
菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
※菱形的性質：具有平行四邊形的性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。
菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。
※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
四條邊都相等的四邊形是菱形。
2矩形的性質與判定
※矩形的定義：有乙個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。
※矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
※矩形的判定：有乙個內角是直角的平行四邊形叫矩形(根據定義)。
對角線相等的平行四邊形是矩形。
四個角都相等的四邊形是矩形。
※推論：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
3正方形的性質與判定
正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
※正方形常用的判定：有乙個內角是直角的菱形是正方形；
鄰邊相等的矩形是正方形；
對角線相等的菱形是正方形；
對角線互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關係(如圖3所示)：
※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。
同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半。
※夾在兩條平行線間的平行線段相等。
※在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半
第二章一元二次方程
1認識一元二次方程
※只含有乙個未知數的整式方程，且都可以化為（a、b、c為
常數，a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。
※把（a、b、c為常數，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項係數；b為一次項係數；c為常數項。
2用配方法求解一元二次方程
①配方法 《即將其變為的形式》
※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②將二次項係數化成1；
③把常數項移到方程的右邊；
④兩邊加上一次項係數的一半的平方；
⑤把方程轉化成的形式；
⑥兩邊開方求其根。
3用公式法求解一元二次方程
②公式法 （注意在找abc時須先把方程化為一般形式）
4用因式分解法求解一元二次方程
③分解因式法把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括「提公因式」和「十字相乘」）
5一元二次方程的根與係數的關係
※根與係數的關係：當b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數根；
當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；
當b2-4ac<0時，方程無實數根。
※如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有：。
※一元二次方程的根與係數的關係的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式：
⑥ ⑦其他能用或表達的代數式。
（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構造一元二次方程：
（4）已知兩數x1、x2的和與積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程的根
6應用一元二次方程
※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數（在設未知數時，大多數情況只要設問題為x；但也有時也須根據已知條件及等量關係等諸多方面考慮）；②尋找等量關係（一般地，題目中會含有一表述等量關係的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程）。
※處理問題的過程可以進一步概括為：
第三章概率的進一步認識
用樹狀圖或**求概率
相關知識點鏈結：
頻數與頻率
頻數：在資料統計中，每個物件出現的次數叫做頻數，
頻率：每個物件出現的次數與總次數的比值為頻率。
概率的意義和大小：概率就是表示每件事情發生的可能性大小，即乙個時間發生的可能性大小的數值。必然事件發生的概率為1；不可能事件發生的概率為0；不確定事件發生的概率在0與1之間。
【知識點1】頻率與概率的含義
在試驗中，每個物件出現的頻繁程度不同，我們稱每個物件出現的次數為頻數，而每個物件出現的次數與總次數的比值為頻率，即
把刻畫事件a發生的可能性大小的數值，稱為事件a發生的概率。
【知識點2】通過實驗運用穩定的頻率來估計某一時間的概率
在進行試驗的時候，當試驗的次數很大時，某個事件發生的頻率穩定在相應的概率附近。
我們可以通過多次試驗，用乙個事件發生的頻率來估計這一事件發生的頻率。
【只是點3】利用畫樹狀圖或列表法求概率（重難點）
第四章圖形的相似
1成比例線段
一. 線段的比
※1. 如果選用同乙個長度單位量得兩條線段ab, cd的長度分別是m、n,那麼就說這兩條線段的比ab:cd=m:n ,或寫成.
※2. 四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等於c與d的比,即,那麼這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.
※3. 注意點:
①a:b=k,說明a是b的k倍;
②由於線段 a、b的長度都是正數,所以k是正數;
③比與所選線段的長度單位無關,求出時兩條線段的長度單位要一致;
④除了a=b之外,a:b≠b:a,與互為倒數;
⑤比例的基本性質:若, 則ad=bc; 若ad=bc, 則
2平行線分線段成比例
※1. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
如圖2, l1 // l2 // l3,則.
二. **分割
※1. 如圖1,點c把線段ab分成兩條線段ac和bc,如果,那麼稱線段ab被點c**分割,點c叫做線段ab的**分割點,ac與ab的比叫做**比.
※2.**分割點是最優美、最令人賞心悅目的點.
3相似多邊形
¤1. 一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.
※2. 對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.
※1. 在相似多邊形中,最為簡單的就是相似三角形.
※2. 對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫做相似比.
※3. 全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等於1. 注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.
※4. 相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比.
※5. 相似三角形周長的比等於相似比.
※6. 相似三角形面積的比等於相似比的平方.
※相似多邊形的周長等於相似比;面積比等於相似比的平方.
4探索三角形相似的條件
※1. 相似三角形的判定方法:
※2. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
如圖2, l1 // l2 // l3,則.
※3. 平行於三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.
5相似三角形的判定定理的證明
6利用相似三角形測高
7相似三角形的性質
8圖形的位似
第五章投影與檢視
a）三檢視
主檢視——從正面看到的圖左檢視——從左面看到的圖俯檢視——從上面看到的圖
畫物體的三檢視時,要符合如下原則:大小：長對正,高平齊,寬相等.
虛實:在畫圖時,看的見部分的輪廓通常畫成實線,看不見部分的輪廓線通常畫成虛線.
b）投影
物體在光線的照射下,會在地面或牆壁上留下它的影子,這就是投影現象.
太陽光線可以看成平行光線,像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。
在同一時刻,物體高度與影子長度成比例.
物體的三檢視實際上就是該物體在某一平行光線(垂直於投影面的平行光線)下的平行投影.
探照燈,手電筒,路燈,和檯燈的光線可以看成是從一點出發的光線,像這樣的光線所形成的投影稱
為中心投影
皮影和手影都是在燈光照射下形成的影子.它們是中心投影。
c）視點、視線、盲區的定義以及在生活中的應用。
.眼睛所在的位置稱為視點，
.由視點發出的光線稱為視線，
.眼睛看不到的地方稱為盲區
第六章反比例函式
知識點1 反比例函式的定義
一般地，形如（k為常數，）的函式稱為反比例函式，它可以從以下幾個方面來理解：
⑴x是自變數，y是x的反比例函式；
⑵自變數x的取值範圍是的一切實數，函式值的取值範圍是；
⑶比例係數是反比例函式定義的乙個重要組成部分；
⑷反比例函式有三種表示式：
①（），
②（），
③（定值）（）；
⑸函式（）與（）是等價的，所以當y是x的反比例函式時，x也是y的反比例函式。
（k為常數，）是反比例函式的一部分，當k=0時，，就不是反比例函式了，由於反比例函式（）中，只有乙個待定係數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函式的表示式。
知識點2用待定係數法求反比例函式的解析式
由於反比例函式（）中，只有乙個待定係數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函式的表示式。
2023年新版九年級數學上冊知識點歸納北師大版
第一章特殊平行四邊形 第二章一元二次方程 第三章圖形的相似 第四章投影與檢視 第五章反比例函式 第六章概率的進一步認識 八下前情回顧 平行四邊的定義 兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。平行四邊形的性質 平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相...
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九年級數學上冊知識點歸納 八下前情回顧 平行四邊的定義 兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。平行四邊形的性質 平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。平行四邊形的判別方法 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平...