2011－2012學年第1學期
概率論與數理統計a卷評分標準
一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）.
1.設為兩個隨機事件，其中，若,則必有
（ab）；
（cd）.
答:（ d ）
2.設隨機變數的分布函式為，則等於
（a）2/3； （b）1/2； （c）1/6； （d）0.
答:（ c ）
3.設服從區間上的均勻分布，則關於的一元二次方程有實根的概率為
（a）0.6； （b）0.4； （c）0d）1.
答:（ a ）
4. 隨機變數和獨立同分布，方差存在且不為0. 記, , 則
(a)和一定不獨立b)和一定獨立；
(c)和一定不相關d) 以上選項都不對.
答:（ c ）
5.總體的分布為，為取自的簡單樣本，則下列選項不正確的是
(ab)；
(cd).
答:（ b ）
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）.
6．設為隨機事件，，則=0.7.
7. 設連續型隨機變數的分布函式為，則常數=.
8．已知相互獨立, ,則=17.
9．隨機從一批香菸中抽取16包測其尼古丁含量的毫克數，從抽取的樣本算得樣本均值，樣本標準差. 設香菸中尼古丁含量的分布是正態的，則總體均值的置信度為95%的置信區間為（24.2211,26.
7789）．
（已知，，）
10．某保險公司接受了某轄區內600輛電動自行車的保險，每輛每年的保費為50元．若車丟失，則得賠償車主1000元．假設車的丟失率為.由中心極限定理，保險公司這年虧損的概率為0.1056．（已知）
三、計算題（本大題共6小題，每小題10分，共60分）.
11．某商店購進甲廠生產的產品20箱, 乙廠生產的同種產品15箱, 其中甲廠每箱裝有一等品74個，二等品6個；乙廠每箱裝有一等品95個，二等品5個. 從這35箱中任取一箱,從中任取乙個，(1)求取到二等品的概率；(2) 若取到二等品，問這個二等品來自甲廠的概率．
解：（1）設:取到二等品；:取到甲廠生產的箱子,:取到乙廠生產的箱子，則取到二等品的概率為
（2）二等品來自甲廠的概率為
12．設隨機變數的概率密度函式為,且，求：（1）常數（2）設，求的概率密度函式.
解：（1）由密度函式的性質
可得（2）由題意
13.二維隨機變數的聯合密度函式為：
求：（1）；（2）關於的邊緣密度函式；
（3）條件概率.
解：（1）由題意
（2）由邊緣密度函式的定義
（3）由條件概率的定義
14. 設隨機變數在區間(0,3)上服從均勻分布，隨機變數
.求：（1）的聯合分布律；（2）的相關係數.
解：（1）由題意
；；；.
故的聯合分布律為
（2）由（1）可得故
15. 據以往經驗，某種能力測試的得分服從正態分佈，隨機抽取 9個學生參與這一測試，他們的得分記為，設.（1）求；（2）若得分超過70分就能得獎，求至少乙個人得獎的概率.
(結果用標準正態分佈的分布函式表示)
解：（1）由題意
（2）由題意
16．設總體的概率密度函式為
=，其中是未知引數. 設為該總體的乙個容量為的簡單樣本.（1）求的最大似然估計量；（2）判斷是否為的無偏估計量.
解：（1）
（2）由題意
而四、解答題（本大題共1個小題，5分）.
17．設隨機變數在區間上服從均勻分布，求.
解：的概率密度函式為
故五、應用題（本大題共1個小題，5分）.
18. 假設一部機器在一天內發生故障的概率為0.2，機器發生故障時全天停止工作.
若一周5個工作日裡無故障，可獲利潤10萬元；發生一次故障仍可獲利潤5萬元；發生二次故障所獲利潤0萬元；發生三次或三次以上故障就要虧損2萬元. 求這部機器在一周內產生的期望利潤（結果保留到小數點後面兩位）.
解： 假設表示一周內發生故障的天數. 則
因此；；；
又設為該企業在一周內的利潤，則的分布律為因此
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