在數學中，雙曲函式類似於常見的三角函式（也叫圓函式）。基本雙曲函式是雙曲正弦「sinh」，雙曲余弦「cosnh」，從它們匯出雙曲正切「tanh」等。也類似於三角函式的推導。
反函式是反雙曲正弦「arcsinh」（也叫做「arcsinh」或「asinh」）以此類推。
雙曲函式出現於某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。
雙曲函式接受實數值作為叫做雙曲角的自變數。在復分析中，它們簡單的是指數函式的有理函式，並因此是完整的。射線出原點交雙曲線 x^2 - y^2 = 1 於點 (cosinh a,sinh a），這裡的a被稱為雙曲角，是這條射線、它關於x軸的映象和雙曲線之間的面積。
定義雙曲函式（hyperbolic function）包括下列六種函式：
sinh / 雙曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
cosh / 雙曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh / 雙曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth / 雙曲餘切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 雙曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]
csch / 雙曲餘割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
其中，e是自然對數的底
e≈2.71828 18284 59045...= 1/0!
+ 1/1! + 1/2! + 1/3!
+ 1/4! + 1/5! + 1/n!
+...
e^x 表示 e的x次冪,展開成無窮冪級數是：
e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...
如同點 (cost,sint) 定義乙個圓，點 (cosh t,sinh t) 定義了右半直角雙曲線x^2 y^2 = 1。這基於了很容易驗證的恒等式
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
和性質 t > 0 對於所有的 t。
引數 t 不是圓角而是雙曲角，它表示在 x 軸和連線原點和雙曲線上的點 (cosinh t,sinh t) 的直線之間的面積的兩倍。
函式 cosinh x 是關於 y 軸對稱的偶函式。
函式 sinh x 是奇函式，就是說 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
實變雙曲函式
y=sinh(x).定義域：r.
值域：r.奇函式.
函式影象為過原點並且穿越ⅰ，ⅲ象限的嚴格單調遞增曲線，當x->+∞時是（1/2）e^x的等價無窮大.函式影象關於原點對稱。
y=ch(x).定義域：r.
值域：[1,+∞）.偶函式.
函式影象是懸鏈線，最低點是（0,1），在ⅰ象限部分是嚴格單調遞增曲線，當x->+∞時是（1/2）e^x的等價無窮大.函式影象關於y軸對稱。
y=th(x).定義域：r.
值域：（-1,1）.奇函式.
函式影象為過原點並且穿越ⅰ，ⅲ象限的嚴格單調遞增曲線.其影象被限制在兩漸近線y=1和y=-1之間.lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。
y=cth(x).定義域：.值域：.
奇函式.函式影象分為兩支，分別在ⅰ，ⅲ象限，函式在（-∞，0）和（0，+∞）分別單調遞減.垂直漸近線為y軸，兩水平漸近線為y=1和y=>+∞，coth(x)=1],lim[x->-∞，coth(x)=-1]。
y=sch(x).定義域：r.
值域：（0,1].偶函式.
最高點是（0,1），函式在（0,+∞）嚴格單調遞減.x軸是其漸近線.lim[x->；∞，sech(x)]=0.
y=xh(x).定義域：.值域：.
奇函式.函式影象分為兩支，分別在ⅰ，ⅲ象限，函式在（-∞，0）和（0，+∞）分別單調遞減.垂直漸近線為y軸，兩水平漸近線為x軸.
lim[x->；∞，csch(x)]=0.
雙曲函式名稱的變更：sinh也叫sinh,ch也叫cosinh,th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。
定義雙曲正弦：sinh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2
雙曲余弦：ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2
性質 解析性：sinhz,chz是全平面的解析函式
週期性：sinhz,chz是週期函式，週期為2πi，這是完全不同於實變函式中的性質
反雙曲函式
反雙曲函式是雙曲函式的反函式. 它們的定義為：
arcsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）]
arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）]
arcth(x) = ln[sqrt（1 - x^2） / （1 - x)] = ln[（1 + x) / （1 - x)] / 2
arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1） / (x - 1）] = ln[(x + 1） / (x - 1）] / 2
arcsch(x) = ± ln[1 + sqrt（1 - x^2） / x]
arcxh(x) = ln[1 - sqrt（1 + x^2） / x]，如果 x < 0
ln[1 + sqrt（1 + x^2） / x]，如果 x > 0
其中，sqrt 為 square root 的縮寫，即平方根
三角函式
雙曲函式與三角函式有如下的關係：
* sinh x = -i * sin(i * x)
* cosinh x = cos(i * x)
* tanh x = -i * tan(i * x)
* coth x = i * cot(i * x)
* sech x = sec(i * x)
* csch x = i * csc(i * x)
i 為虛數單位，即 i * i = -1
恒等式 與雙曲函式有關的恒等式如下：
ch^2(x) - sinh^2(x) =1
cth^2(x) - xh^2(x)=1
th^2(x) + sch^2(x)=1
加法公式
sinh(x+y) = sinh(x) * cosinh(y) + cosinh(x) * sinh(y)
cosinh(x+y) = cosinh(x) * cosinh(y) + sinh(x) * sinh(y)
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
coth(x+y)=（1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))
減法公式
sinh(x-y) = sinh(x) * cosinh(y) - cosinh(x) * sinh(y)
cosinh(x-y) = cosinh(x) * cosinh(y) - sinh(x) * sinh(y)
tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
coth(x-y)=（1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))
二倍角公式
sinh（2x) = 2 * sinh(x) * cosinh(x)
cosinh（2x) = cosinh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosinh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
tanh（2x) = 2tanh(x)/（1+tanh^2(x))
coth（2x) = （1+coth^2(x))/2coth(x)
三倍角公式
sinh（3x)=3sinh(x)+4sinh^3(x)
cosinh（3x)=4cosinh^3(x)-3cosinh(x)
半形公式
cosinh^2(x / 2） = (cosinh(x) + 1） / 2
sinh^2(x / 2） = (cosinh(x) - 1） / 2
tanh(x / 2） = (cosinh(x)-1）/sinh(x)=sinh(x)/(cosinh(x)+1）
coth(x / 2） = sinh(x)/(coth(x)-1）=(coth(x)+1）/sinh(x)
德莫佛公式
（cosinh(x）±sinh(x))^n=cosinh(nx)±sinh(nx)
雙曲函式的恒等式都在圓三角函式有相應的公式。osborn's rule指出：將圓三角函式恒等式中，圓函式轉成相應的雙曲函式，有兩個sinh的積時（包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x) * sinh(y））則轉換正負號，則可得到相應的雙曲函式恒等式。
如三倍角公式
sin（3 * x) = 3 * sin(x) + 4 * sin^3(x)
sinh（3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh^3(x)
導數 （sinh(x))'=cosinh(x)
（cosinh(x))'=sinh(x)
（tanh(x))'=sech^2(x)
（coth(x))'=-csch^2(x)
（sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
（csch(x))'=-csch(x)coth(x)
（arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1）
（arccosinh(x))'=1/sqrt(x^2-1） (x>1）
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