彎曲應力專題
§5.1 純彎曲
§5.2 純彎曲時的正應力
§5-3 橫力彎曲（剪下彎曲）時的正應力
§5.4 彎曲切應力
§5.6 提高彎曲強度的措施
§5.1 純彎曲
1. 2．觀察變形
以矩形截面梁為例
（1）變形前的直線、變形後成為曲線、，變形前的，變形後仍為直線、，然而卻相對轉過了乙個角度，且仍與、曲線相垂直。
（2）平面假設
根據實驗結果，可以假設變形前原為平面的梁的橫截面變形後仍為平面，且仍垂直於變形後的梁軸線，這就是彎曲變形的平面假設。
（3）設想
設想梁是由平行於軸線的眾多纖維組成。在純彎曲過程中各纖維之間互不擠壓，只發生伸長和縮短變形。顯然，凸邊一側的纖維發生伸長，凹邊一側的纖維縮短。
由平面假設纖維由伸長變為縮短，連續變化，中間一定有一層纖維稱既不伸長,也不縮短,這一層纖維為中性層。
（4）中性軸
中性層與橫截面的交線稱為中性軸，由於整體變形的對稱性，中性軸由與縱向對稱面垂直。p139
note：可以證明，中性軸為形心主軸。
§5.2 純彎曲時的正應力
1．正應力分布規律：
①變形幾何關係
②物理關係
③靜力關係
（1）變形幾何關係
取dx微段來研究，豎直對稱軸為y軸，中性軸為z軸，距中性層為y的任一纖維的線應變。
a）（2）物理關係
因為縱向纖維之間無正應和，每一纖維都是單向拉伸或者單向壓縮，當應力小於比例極限時，由胡克定律
b）此式表明：任意縱向纖維的正應力與它到中性層的距離成正比。在橫截面上，任意點的正應力與該點到中性軸的距離成正比。亦即沿截面高度，正應力按直線規律變化。
（3）靜力關係
橫截面上的微內力σda組成垂直於橫截面的空間平行力學。這一力系可能簡化為三個內力分量：
橫截面上的內力與截面左側的外力必須平衡。在純彎曲情況下，截面左側的外力只有對z軸的力偶矩me。由於內外力必須滿足平衡方程，故：
c） 式（b）代入式（c）
結論：z軸（中性軸）通過形心。
d） 式（b）代入式（d）
結論：y軸為對稱軸，上式自然滿足
e） 式（b）代入式（e）
f）∴式（f）可寫成
g）式中為梁軸線變形後的曲率，eiz稱為梁的抗彎剛度。
2．純彎曲時梁的正應力計算公式
由式（g）和式（b）中消去得
討論：（1）匯出公式時用了矩形截面，但未涉及任何矩形的幾何特性，因此，公式具有普遍性。
（2）只要梁有一縱向對稱面，且載荷作用於對稱麵內，公式都適用。
（3）橫截上任一點處的應力是拉應力還是壓應力可直接判定，不需用y座標的正負來判定。
§5-3 橫力彎曲（剪下彎曲）時的正應力
1．純彎曲正應力公式推廣應用於橫力彎曲
討論：公式的適用條件
（1）平面彎曲
（2）純彎曲或l/h≥5的橫力彎曲（σ，τ）
（3）應力小於比例極限。
2．最大正應力
引入記號
w——抗彎截面係數（m3）
討論：（1）等直樑而言σmax發生在最大彎矩斷面，距中性軸最遠處ymax。
（2）對於變截面梁不應只注意最大彎矩mmax截面，而應綜合考慮彎矩和抗彎截面係數wz兩個因素。
3．強度條件
（1）對抗拉抗壓強度相同的材料，只要
即可（2）對抗拉抗壓強度不等的材料（如鑄鐵）則應同時滿足：
4．強度計算
（1）強度校核
（2）設計截面尺寸：
（3）確定許用載荷：
example1 空氣幫浦操作杆，右端受力f1=8.5kn，1-1、2-2截面相同，均為h/b=3的矩形，若[σ]=50mpa，試選用1-1、2-2截面尺寸。
solution
①求f2
kn②求截面彎矩
m1=8.5×(0.72-0.08)=5.44kn·m
m2=16.1×(0.38-0.08)=4.38kn·m
故：kn·m
③設計截面
mm3mm3
mmh=125mm
§5.4 彎曲切應力
切應力的分布規律與梁的橫截面形狀有關，因此以梁的橫截面形狀不同分別加以討論。
1．矩形截面梁
（1）切應力的分布規律
當h>b時，按上述假設得到的解答與精確解相比有足夠的準確度。
（2）切應力沿截面高度的變化規律
①從樑中取出dx段，而微段上無載荷作用。
②截面上的σ和τ的分布如圖
③研究微塊的平衡
（a）式中：為離中性軸為y的橫線以下面積對中性軸之靜矩。
b）考慮到微塊頂面上相切的內力系的合力
c）（d）
式（a）、（b）、（c）代入式（d）
（e）d）f）
由切應力互等定理，橫截面上pq線處切應力為
g）這就是矩形截面梁彎曲切應力計算公式。
④討論：
a. 橫力彎曲下樑的縱向纖維層之間存在切應力
b. 矩形截面如圖
or∴說明切應力τ沿截面高度按拋物線規律變化。
c. 當時，τ=0
當y=0時，
d. 考慮到
2．工字形截面梁
（1）計算表明：截面上剪力fs的95～97%由腹板承擔，故只考慮腹板上的切應力分布規律，而腹板是乙個狹長矩形，矩形截面切應力兩個假設均適用（τ方向與fs一致，設寬度均布），採用矩形截面方法可得：
式中：以y=0，代入上式得
∵b0<∴τmax≈τmin
於是近似認為
（2）翼緣中切應力分布比較複雜，且數量很小，無實際意義，不予討論。
（3）工字梁翼緣的全部面都距中性軸較遠，每一點的正應力都很大，所以工字梁的最大特點是，用翼緣承擔大部分彎矩，腹板承擔大部分剪力。
3．圓形及圓環形截面梁
（1）——陰影面積對中性軸的靜矩
b——為弦ab的長度
在中性軸上
b=2r
（2）圓環形截面
4．彎曲切應力的強度校核
（1）強度條件
最大切應力發生於中性軸處，故
——中性軸以上或以下截面面積對中性軸之靜矩
（2）細長梁而言，強度控制因素，通常是彎曲正應力，一般只按正應力強度條件進行強度計算，不需要對彎曲切應力進行強度校核。
（3）只在下述情況下，才進行彎曲切應力強度校核：
①梁的跨度較短。
②在梁的支座附近作用較大的載荷，以致梁的彎矩較小，而剪力頗大。
③鉚接或焊接的工字梁，如腹板較薄而截面高度頗大，以致厚度與高度的比值小於型鋼的相應比值，這時對腹板進行切應力校核。
④經焊接，鉚接或膠而成的梁，對焊縫、鉚釘或膠
合面一般進行剪下計算。
§5.6 提高彎曲強度的措施
彎曲正應力為控制梁的主要因素。由梁的強度條件：
合理安排梁的受力情況，降低mmax。
採用合理截面形狀，提高wz
1．合理安排梁的受力情況，降低mmax
（1）合理布置梁的支座
（2）合理布置載荷
①載荷置於合理位置
②將集中力分為較小的集中力
③將集中力分為分布力
2．梁的合理截面，提高wz
由強度條件得
可見wz越大，梁承受的彎矩就越大。
（1） 矩形截面梁
豎放：，由a=bh，用來衡量截面形狀的合理性和經濟性。
平放：，由a=bh
顯然：因為h>b，故k1>k2，所以，矩形截面梁豎放比平放要好。
（2） 截面合理性，經濟性用比值來評價，引入，k值越大截面越合理。
3．等強度梁的設計
（1）等截面梁是按最大彎矩設計
（2）等強度梁是按變截面設計
（2） 等強度梁為變截面梁各橫截面上的最大正應力σmax都相等，且等於許用應力[σ]。
4．舉例
example 圖示受集中力作用的簡支梁，若設計成等強度梁，截面為矩形。設h=const，而b=b(x)
solution
（1）即：
∴（2）討論
①b(x)為x一次函式，直線變化
當②當x=0時，b=0。這顯然不能滿足剪下條件。必須根據截面上中性軸處的最大切應力來論最小的寬度bmin。
③根據即
故（3）疊板彈簧梁的構成
將厚度為h的鋼，切割成bmin的鋼板條，當然鋼板條長度不同疊起來，構成疊板梁如圖示。
（4）魚腹梁的設計設即：
又：故：
魚腹梁形成。
10材料力學課程教案第13次課
第五章梁位移計算的習題課 內容提要 一 平面彎曲時梁的變形與位移 梁的變形 1.撓曲線平面彎曲時，梁的軸線彎曲成位於形心主慣性平面內的一條光滑連續的平面曲線，稱為撓曲線，如圖6 1中的。2.彎曲變形以撓曲線 中性層 的曲率表示梁彎曲變形程度，曲率與彎矩間的關係為 6 1 式中，為彎矩，為梁的彎曲剛度...
10材料力學課程教案第3次課
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材料力學習題第9章
第9章9 1 1 用圖9 9c 的平衡外力系和圖9 9b的容許變形驗證虛功原理 2 用圖9 9c的平衡外力系和圖9 9a的容許變形驗證虛功原理 3 用圖9 9b的平衡外力系和圖9 9a的容許變形驗證虛功原理 4 用圖9 9a的平衡外力系和圖9 9b的容許變形驗證虛功原理。9 2 求梁 截面的撓度和a...