必修1第一章、集合
定義1 一般地，一組確定的、互異的、無序的物件的全體構成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個物件稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合a中，稱屬於a，記為，否則稱不屬於a，記作。
例如，通常用n，z，q，b，q+分別表示自然數集、整數集、有理數集、實數集、正有理數集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。
集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一枚舉出來寫在大括號內並用逗號隔開表示集合的方法，如；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內表示集合的方法。
例如，分別表示有理數集和正實數集。
定義2 子集：對於兩個集合a與b，如果集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素，則a叫做b的子集，記為，例如。規定空集是任何集合的子集，如果a是b的子集，b也是a的子集，則稱a與b相等。
如果a是b的子集，而且b中存在元素不屬於a，則a叫b的真子集。
便於理解：包含兩個意思：①a與b相等 、②a是b的真子集
定義3 交集，
定義4 並集，
定義5 補集，若稱為a在i中的補集。
定義6 集合記作開區間，集合
記作閉區間，r記作
定義7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
補充知識點對集合中元素三大性質的理解
（1）確定性
集合中的元素，必須是確定的．對於集合和元素，要麼，要麼，二者必居其一．比如：「所有大於100的數」組成乙個集合，集合中的元素是確定的．而「較大的整數」就不能構成乙個集合，因為它的物件是不確定的．再如，「較大的樹」、「較高的人」等都不能構成集合．
（2）互異性
對於乙個給定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何兩個相同的物件在同一集合中時，只能算作這個集合中的乙個元素．如：由，組成乙個集合，則的取值不能是或1．
（3）無序性
集合中的元素的次序無先後之分．如：由組成乙個集合，也可以寫成組成乙個集合，它們都表示同乙個集合．
學習集合表示方法時應注意的問題
（1）注意與的區別．是集合的乙個元素，而是含有乙個元素的集合，二者的關係是．
（2）注意與的區別．是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合．
（3）在用列舉法表示集合時，一定不能犯用｛實數集｝或來表示實數集這一類錯誤，因為這裡「大括號」已包含了「所有」的意思．
用特徵性質描述法表示集合時，要特別注意這個集合中的元素是什麼，它應具備哪些特徵性質，從而準確地理解集合的意義．例如：
集合中的元素是，這個集合表示二元方程的解集，或者理解為曲線上的點組成的點集；
集合中的元素是，這個集合表示函式中自變數的取值範圍；
集合中的元素是，這個集合表示函式中函式值的取值範圍；
集合中的元素只有乙個（方程），它是用列舉法表示的單元素集合．
（4）常見題型方法：當集合中有n個元素時，有2n個子集，有2n-1個真子集，有2n-2個非空真子集。
第二章、函式
定義1 對映，對於任意兩個集合a，b，依對應法則f，若對a中的任意乙個元素x，在b中都有唯一乙個元素與之對應，則稱f: a→b為乙個對映。
定義2 函式，對映f: a→b中，若a，b都是非空數集，則這個對映為函式。a稱為它的定義域，若x∈a, y∈b，且f(x)=y（即x對應b中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。
集合叫函式的值域。通常函式由解析式給出，此時函式定義域就是使解析式有意義的未知數的取值範圍，如函式y=3-1的定義域為.
定義3 反函式，若函式f: a→b（通常記作y=f(x)）是一一對映，則它的逆對映f-1: a→b叫原函式的反函式，通常寫作y=f-1(x).
這裡求反函式的過程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然後將x, y互換得y=f-1(x)，最後指出反函式的定義域即原函式的值域。例如：
函式y=的反函式是y=1-(x0).
補充知識點：
定理1 互為反函式的兩個函式的圖象關於直線y=x對稱。
定理2 在定義域上為增（減）函式的函式，其反函式必為增（減）函式。
定義4 函式的性質。
（1）單調性：設函式f(x)在區間i上滿足對任意的x1, x2∈i並且x1< x2，總有f(x1)f(x2))，則稱f(x)在區間i上是增（減）函式，區間i稱為單調增（減）區間。
（2）奇偶性：設函式y=f(x)的定義域為d，且d是關於原點對稱的數集，若對於任意的x∈d，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函式；若對任意的x∈d，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函式。奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱。
（3）週期性：對於函式f(x)，如果存在乙個不為零的常數t，使得當x取定義域內每乙個數時，f(x+t)=f(x)總成立，則稱f(x)為週期函式，t稱為這個函式的週期，如果週期中存在最小的正數t0，則這個正數叫做函式f(x)的最小正週期。
定義5 如果實數aa}記作開區間（a, +∞），集合記作半開半閉區間（-∞,a].
定義6 函式的圖象，點集稱為函式y=f(x)的圖象，其中d為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函式y=f(x)的圖象與其他函式圖象之間的關係(a,b>0)；
（1）向右平移a個單位得到y=f(x-a)的圖象；
（2）向左平移a個單位得到y=f(x+a)的圖象；
（3）向下平移b個單位得到y=f(x)-b的圖象；
（4）與函式y=f(-x)的圖象關於y軸對稱；
（5）與函式y=-f(-x)的圖象關於原點成中心對稱；
（6）與函式y=f-1(x)的圖象關於直線y=x對稱；（7）與函式y=-f(x)的圖象關於x軸對稱。
定理3 復合函式y=f[g(x)]的單調性，記住四個字：「同增異減」。例如y=, u=2-x在（-∞,2）上是減函式，y=在（0，+∞）上是減函式，所以y=在（-∞,2）上是增函式。
注：復合函式單調性的判斷方法為同增異減。這裡不做嚴格論證，求導之後是顯然的。
附：初中知識基礎知識
1．二次函式：當0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關於x的二次函式，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函式的性質：當a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區間（-∞，x0]上隨自變數x增大函式值減小（簡稱遞減），在[x0, -∞）上隨自變數增大函式值增大（簡稱遞增）。當a<0時，情況相反。
3．當a>0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③與函式f(x)的關係如下（記△=b2-4ac）。
1）當△>0時，方程①有兩個不等實根，設x1,x2(x1x2}和和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點。
3）當△<0時，方程①無解，不等式②和不等式③的解集分別是r和.f(x)圖象與x軸無公共點。
當a<0時，請讀者自己分析。
4．二次函式的最值：若a>0，當x=x0時，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，則當x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對於給定區間[m,n]上的二次函式f(x)=ax2+bx+c(a>0)，當x0∈[m, n]時，f(x)在[m, n]上的最小值為f(x0); 當x0n時，f(x)在[m, n]上的最小值為f(n)（以上結論由二次函式圖象即可得出）。
定義1 能判斷真假的語句叫命題，如「3>5」是命題，「蘿蔔好大」不是命題。不含邏輯聯結詞「或」、「且」、「非」的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題由復合命題。
一定注意： 「p或q」復合命題只有當p，q同為假命題時為假，否則為真命題；「p且q」復合命題只有當p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與「非p」即「p」恰好一真一假。
定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。
一定注意： 原命題與其逆否命題同真假。乙個命題的逆命題和否命題同真假。
一定注意： 反證法的理論依據是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。
定義3 如果命題「若p則q」為真，則記為pq否則記作pq.在命題「若p則q」中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。
第三章、基本初等函式
1．指數函式及其性質：形如y=ax(a>0, a1)的函式叫做指數函式，其定義域為r，值域為（0，+∞），當01時，y=ax為增函式，它的圖象恆過定點（0，1）。
2．分數指數冪：。
3．對數函式及其性質：形如y=logax(a>0, a1)的函式叫做對數函式，其定義域為（0，+∞），值域為r，圖象過定點（1，0）。當01時，y=logax為增函式。
4．對數的性質（m>0, n>0）；
1）ax=mx=logam(a>0, a1)；
2）loga(mn)= loga m+ loga n；
3）loga（）= loga m- loga n；4）loga mn=n loga m（萬能恒等式）
5）loga =loga m；6）aloga m=m; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1).
初中數學全部知識點總結
初中數學知識點複習回顧 第一章有理數 一 知識框架 二 知識概念 1.有理數 1 凡能寫成形式的數，都是有理數.正整數 0 負整數統稱整數 正分數 負分數統稱分數 整數和分數統稱有理數.注意 0即不是正數，也不是負數 a不一定是負數，a也不一定是正數 不是有理數 2 有理數的分類 2 數軸 數軸是規...
初中數學知識點大全 全部知識內容
第一章實數 重點 實數的有關概念及性質，實數的運算 內容提要 一 重要概念 1 數的分類及概念 數系表 說明 分類 的原則 1 相稱 不重 不漏 2 有標準 2 非負數 正實數與零的統稱。表為 x 0 常見的非負數有 性質 若干個非負數的和為0，則每個非負擔數均為0。3 倒數 定義及表示法 性質 中...
列印全部初中數學知識點總結
有理數一 知識框架 二 知識概念 1.有理數 1 凡能寫成形式的數，都是有理數.正整數 0 負整數統稱整數 正分數 負分數統稱分數 整數和分數統稱有理數.注意 0即不是正數，也不是負數 a不一定是負數，a也不一定是正數 不是有理數 2 有理數的分類 2 數軸 數軸是規定了原點 正方向 單位長度的一條...