第十六章動量守恆定律
一、衝量和動量
（一）知識要點
1.動量：按定義，物體的質量和速度的乘積叫做動量：p=mv
⑴動量是描述物體運動狀態的乙個狀態量，它與時刻相對應。
⑵動量是向量，它的方向和速度的方向相同。
2.衝量：按定義，力和力的作用時間的乘積叫做衝量：i=ft
⑴衝量是描述力的時間積累效應的物理量，是過程量，它與時間相對應。
⑵衝量是向量，它的方向由力的方向決定（不能說和力的方向相同）。如果力的方向在作用時間內保持不變，那麼衝量的方向就和力的方向相同。
⑶高中階段只要求會用i=ft計算恒力的衝量。對於變力的衝量，高中階段只能利用動量定理通過物體的動量變化來求。
⑷要注意的是：衝量和功不同。恒力在一段時間內可能不作功，但一定有衝量。
（二）例題分析
例1：質量為m的小球由高為h的光滑斜面頂端無初速滑到底端過程中，重力、彈力、合力的衝量各是多大？
解：力的作用時間都是，力的大小依次是mg、mgcosα和mgsinα，所以它們的衝量依次是：
特別要注意，該過程中彈力雖然不做功，但對物體有衝量。
例2：乙個質量是0.2kg的鋼球，以2m/s的速度水平向右運動，碰到一塊豎硬的大理石後被彈回，沿著同一直線以2m/s的速度水平向左運動，碰撞前後鋼球的動量有沒有變化？
變化了多少？
解：取水平向右的方向為正方向，碰撞前鋼球的速度v=2m/s，碰撞前鋼球的動量為p=mv=0.2×2kg·m/s=0.
4kg·m/s。碰撞後鋼球的速度為v′=0.2m/s，碰撞後鋼球的動量為
p′=m v′=-0.2×2kg·m/s=-0.4kg·m/s。
△p= p′-p=-0.4kg·m/s-0.4kg·m/s=-0.8kg·m/s，且動量變化的方向向左。
例3：乙個質量是0.2kg的鋼球，以2m/s的速度斜射到堅硬的大理石板上，入射的角度是45，碰撞後被斜著彈出，彈出的角度也是45，速度大小仍為2m/s，用作圖法求出鋼球動量變化大小和方向？
解：碰撞前後鋼球不在同一直線運動，據平行四邊形定則，以p′和p為鄰邊做平行四邊形，則△p就等於對解線的長度，對角線的指向就表示的方向：
∴方向豎直向上。
動量是向量，求其變化量可以用平行四邊形定則：在一維情況下可首先規定乙個正方向，這時求動量的變化就可以簡化為代數運算了。
例4（12分）如圖所示，在光滑、固定的水平桿上套著乙個光滑的滑環 ，滑環下通過一根不可伸長的輕繩懸吊一重物m，輕繩長為l，將滑環固定在水平桿上，給m乙個水平衝量作用，使m擺動，且恰好剛碰到水平杆。問
（1）m在擺動過程中，滑環對水平杆的壓力的最大值是多少？
（2）若滑環不固定，仍給m以同樣大小的衝量作用，則m擺起的最大高度為多少？
解：（1）機械能守恆 （2分）
m通過最低點t最大 （2分）
∴ （1分）
再對滑環受力分析 （2分）
（2）不固定機械能仍守恆初速度：
（2分）
水平動量守恆 （2分）
∴ ∴ （1分）
二、動量定理
（一）知識要點
1.動量定理：物體所受合外力的衝量等於物體的動量變化。既i=δp
⑴動量定理表明衝量是使物體動量發生變化的原因，衝量是物體動量變化的量度。這裡所說的衝量必須是物體所受的合外力的衝量（或者說是物體所受各外力衝量的向量和）。
⑵動量定理給出了衝量（過程量）和動量變化（狀態量）間的互求關係。
⑶現代物理學把力定義為物體動量的變化率：（牛頓第二定律的動量形式）。
⑷動量定理的表示式是向量式。在一維的情況下，各個向量必須以同乙個規定的方向為正。
2.利用動量定理定性地解釋一些現象
3.利用動量定理進行定量計算
利用動量定理解題，必須按照以下幾個步驟進行：
⑴明確研究物件和研究過程。研究物件可以是乙個物體，也可以是幾個物體組成的質點組。質點組內各物體可以是保持相對靜止的，也可以是相對運動的。
研究過程既可以是全過程，也可以是全過程中的某一階段。
⑵進行受力分析。只分析研究物件以外的物體施給研究物件的力。所有外力之和為合外力。
研究物件內部的相互作用力（內力）會改變系統內某一物體的動量，但不影響系統的總動量，因此不必分析內力。如果在所選定的研究過程中的不同階段中物體的受力情況不同，就要分別計算它們的衝量，然後求它們的向量和。
⑶規定正方向。由於力、衝量、速度、動量都是向量，在一維的情況下，列式前要先規定乙個正方向，和這個方向一致的向量為正，反之為負。
⑷寫出研究物件的初、末動量和合外力的衝量（或各外力在各個階段的衝量的向量和）。
⑸根據動量定理列式求解。
（二）例題分析
例1：以初速度v0平丟擲乙個質量為m的物體，丟擲後t秒內物體的動量變化是多少？
解：因為合外力就是重力，所以δp=ft=mgt
有了動量定理，不論是求合力的衝量還是求物體動量的變化，都有了兩種可供選擇的等價的方法。本題用衝量求解，比先求末動量，再求初、末動量的向量差要方便得多。當合外力為恒力時往往用ft來求較為簡單；當合外力為變力時，在高中階段只能用δp來求。
例2：雞蛋從同一高度自由下落，第一次落在地板上，雞蛋被打破；第二次落在泡沫塑料墊上，沒有被打破。這是為什麼？
解：兩次碰地（或碰塑料墊）瞬間雞蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以兩次碰撞過程雞蛋的動量變化相同。根據ft=δp，第一次與地板作用時的接觸時間短，作用力大，所以雞蛋被打破；第二次與泡沫塑料墊作用的接觸時間長，作用力小，所以雞蛋沒有被打破。
（再說得準確一點應該指出：雞蛋被打破是因為受到的壓強大。雞蛋和地板相互作用時的接觸面積小而作用力大，所以壓強大，雞蛋被打破；雞蛋和泡沫塑料墊相互作用時的接觸面積大而作用力小，所以壓強小，雞蛋未被打破。
）例3：某同學要把壓在木塊下的紙抽出來。第一次他將紙迅速抽出，木塊幾乎不動；第二次他將紙較慢地抽出，木塊反而被拉動了。這是為什麼？
解：物體動量的改變不是取決於合力的大小，而是取決於合力衝量的大小。在水平方向上，第一次木塊受到的是滑動摩擦力，一般來說大於第二次受到的靜摩擦力；但第一次力的作用時間極短，摩擦力的衝量小，因此木塊沒有明顯的動量變化，幾乎不動。
第二次摩擦力雖然較小，但它的作用時間長，摩擦力的衝量反而大，因此木塊會有明顯的動量變化。
例4：質量為m的小球，從沙坑上方自由下落，經過時間t1到達沙坑表面，又經過時間t2停在沙坑裡。求：⑴沙對小球的平均阻力f；⑵小球在沙坑裡下落過程所受的總衝量i。
解：設剛開始下落的位置為a，剛好接觸沙的位置為b，在沙中到達的最低點為c。
⑴在下落的全過程對小球用動量定理：重力作用時間為t1+t2，而阻力作用時間僅為t2，以豎直向下為正方向，有：
mg(t1+t2)-ft2=0, 解得：
⑵仍然在下落的全過程對小球用動量定理：在t1時間內只有重力的衝量，在t2時間內只有總衝量（已包括重力衝量在內），以豎直向下為正方向，有：
mgt1-i=0,∴i=mgt1
這種題本身並不難，也不複雜，但一定要認真審題。要根據題意所要求的衝量將各個外力靈活組合。若本題目給出小球自由下落的高度，可先把高度轉換成時間後再用動量定理。
當t1>> t2時，f>>mg。
例5：質量為m的汽車帶著質量為m的拖車在平直公路上以加速度a勻加速前進，當速度為v0時拖車突然與汽車脫鉤，到拖車停下瞬間司機才發現。若汽車的牽引力一直未變，車與路面的動摩擦因數為μ，那麼拖車剛停下時，汽車的瞬時速度是多大？
解：以汽車和拖車系統為研究物件，全過程系統受的合外力始終為，該過程經歷時間為v0/μg，末狀態拖車的動量為零。全過程對系統用動量定理可得：
這種方法只能用在拖車停下之前。因為拖車停下後，系統受的合外力中少了拖車受到的摩擦力，因此合外力大小不再是。
例6：質量為m=1kg的小球由高h1=0.45m處自由下落，落到水平地面後，反跳的最大高度為h2=0.
2m，從小球下落到反跳到最高點經歷的時間為δt=0.6s，取g=10m/s2。求：
小球撞擊地面過程中，球對地面的平均壓力的大小f。
解：以小球為研究物件，從開始下落到反跳到最高點的全過程動量變化為零，根據下降、上公升高度可知其中下落、上公升分別用時t1=0.3s和t2=0.
2s，因此與地面作用的時間必為t3=0.1s。由動量定理得：
mgδt-ft3=0 ，f=60n
例7、如圖所示，，質量為ｍ＝2kg的小車ａ靜止在光滑水平面上，ａ的右端停放有乙個質量為ｍ＝0.4kg、帶正電荷ｑ＝0.8c的小物體ｂ。
整個空間存在著垂直於紙面向裡、磁感應強度ｂ＝0.5ｔ的勻強磁場，現從小車的左端，給小車a乙個水平向右的瞬時衝量i=26n﹒s，使小車獲得乙個水平向右的初速度，物體與小車之間有摩擦力作用，設小車足夠長，求
（1）瞬時衝量使小車獲得的動能
（2）物體ｂ的最大速度?
（3）在a與b相互作用過程中系統增加的內能?（ｇ＝10m/s2）
解析：（1）瞬時衝量和碰撞是一樣的，由於作用時間極短，可以忽略較小的外力的影響，而且認為，衝量結束後物體ｂ的速度仍為零．衝量是物體動量變化的原因，根據動量定理即可求的小車獲得的速度，進而求出小車的動能．
ｉ＝mv, v=i/m=13m/s, e=mv2/2=169j
(2)要想得知物體ｂ的速度何時最大，就要對瞬時衝量結束後ａ、ｂ物體相互作用的過程做乙個較具體的分析。小車ａ獲得水平向右的初速度後，由於ａ、ｂ之間的摩擦，ａ向右減速運動，ｂ向左加速運動，同時由於羅倫茲力的影響ａ、ｂ之間的摩擦也發生變化，設a、ｂ剛分離時速度為vb
qvbb＝ｍｇ
即 vb＝ｍｇ／ｂｑ＝10ｍ/ｓ
若a 、ｂ能相對靜止，設共同速度為ｖ，
由ｍv0＝（ｍ＋m）ｖ
ｖ=10.8m/s,
因vb<ｖ說明ａ、ｂ在沒有達到共同速度前就分離了
所以，ｂ的最大速度為 vb＝10ｍ/ｓ
這一步的要害就是對兩個臨界狀態進行分析和比較，最後確定ｂ的最大速度。假如題中條件ｉ＝20n﹒s,將得出vb＞ｖ，就說明ａ、ｂ在沒有分離前就達到了共同速度．則共同速度ｖ就是ｂ的最大速度，因為，ａ、ｂ在達到共同速度後速度不再發生變化，也就不會再分離。做過這個題目後，對本題的分析和反思時應該想到這一步。
(3) 由於羅倫茲力的影響ａ、b之間的摩擦力逐漸減少，因此無法用ｑ＝fs相對求摩擦產生的熱量，只能根據機械能的減少等於內能的增加來求解。
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