譚槿沁劉晶張曦
摘要：本文對從2023年起三年的打水和鋪設管道計畫建立了數學模型。首先根據現有各井在近幾年的產水量，用matlab擬合、回歸分析，從而**出了舊井在2023年到2023年五年的產水量，為接下來計算提供了重要資料。
接著，在模型建立部分，重點運用0-1變數優勢，解決了在函式建立過程中的打井計畫的設立，在滿足最低需水量的限定條件下，結合lingo12.0軟體求解，最後得出了在總費用最小的前提下的打井和鋪設管道這一非線性規劃和優化配置問題。
關鍵詞：優化配置非線性規劃 0-1規劃回歸分析
1 問題的提出
為了使得總開支進量節省，在滿足每年最低需水量的前提下，設定打井和鋪設管道計畫。為得出結果，一方面我們需要知道舊井在以前年份的產水量**其在今後五年的產水量；另一方面，我們還需要解決實行怎樣的施工方案，即每一年該打哪些井、何時開始鋪設管道和每年鋪設多少管道，使得費用最低和在每口井產水量逐年遞減的情況下，總產水量接近最低需水量。
2 問題的分析
在建立函式的過程中，我們最大的問題是每年打哪些井如何在函式中體現，因此需要引出0-1整數規劃；其次，為**以後年份舊井的產水量，需要先對以前年份的產水量進行資料擬合，**水量變化函式，再進行matlab回歸分析，得出此函式，以此來**以後年份的產水量。
3 模型假設和符號系統
3.1 模型假設
（1）每年舊井供水量參考擬合結果；
（2）每年新打井的年產水量以平均每年10%的速率減少；
（3）管道修好之後的年供水量不會因客觀原因而發生變動；
（4）不考慮小蓄水池等其他水資源的作用和劃款的利息；
3.2 符號系統
xij表示每年打每個位置上的井與否，xij=0,1，i=1,2,3，j=1,2…8;
cj表示某個位置打井費用，j=1,2…8;
ck表示每年打井所需總費用，k=2010,2011,2012,2013,2014;
sj表示某個位置打井後當年產水量；
q為管道鋪設完畢之後每年最少供水量；
li為每年的管道鋪設量，i=1,2,3,且l1+l2+l3=20；
mi表示每年舊井的估計供水量，i=1,2,3,4,5；
di表示每年保證村民的最少用水量，i=1,2,3,4,5；
4 模型的建立
4.1 資料分析
由於近年來環境破壞，經常是一連數月滴雨不下，這些小蓄水池的功能完全喪失。而現有的四口水井經過多年使用後，年產水量也在逐漸減少，在表1中給出它們在近9年來的產水量粗略統計數字。我們根據這些統計資料用matlab7.
1進行擬合，並得到回歸曲線，進行優度分析，最後**2010~2023年的四口井的產水量。
**表：
**過程如下：
1號井擬合曲線：
2號井擬合曲線：
3號井擬合曲線：
4號井擬合曲線：
1~4號井的回歸分析表：
根據擬合係數,r-square越大擬合度越好，adjrsquare越大越好，這四號井的擬合係數都達到0.99以上，接近1.。可見上述四個擬合曲線達到了很好的優度。
此外，我們發現4號井可用一元四次不等式擬合，它的優度稍大於用3次擬合的。但由於其**性較大，在**2023年時產水量反而增多，不符合要求，故捨去。
**2號井和4號井的2023年以後產水量都為負數，結合實際，可知這兩口井在2023年已經枯竭，不能產水了。
4.2．建立模型
(1)先考慮目標函式
通過題目的分析可知，抗旱計畫所需的總開支應盡量節省，而這個三年計畫包括打井和鋪設管道兩部分，從而，三年總的打井費用和鋪好管道費用之和為最少才最優。因此，目標函式可以設為：
min(0.66*20*q^0.51+c2010+c2011+c2012)
（2）再考慮約束條件
分兩部分考慮約束條件
一部分：從2023年起，每年**至多提供60（萬元）用於打井和鋪設管道，故：
利用0-1規劃在lingo中解決每年是否打1到8個位置中哪口井的問題，從而保證村民的用水量並使得支出最少。每年費用函式：
1）其中：
2）二部分：解決村民喝水難的途徑有兩條，一條是打新井，另一條是從村外河流引水。每年打新井需要開支，同時打好後能喝上新井的水；管道在三年內鋪設完畢，第四年開始供水。
考慮前三年飲水情況，舊井勉強供水量和新井打好後的供水量滿足每年所需最少水量；從長遠考慮，第四年和第五年的供水量要得到保證，那麼在前三年的基礎上再加上管道鋪設好之後村外引水量要滿足村民用水量。每年需要用水量函式：
前三年3）
第四年4)
第五年5)
綜合目標函式和五類約束條件，可得最終模型，即：
min(0.66*20*q^0.51+c2010+c2011+c2012)
4．3模型求解和結果分析
通過lingo求解，結果見附錄，具體為：三年所需最少費用為171（萬元），每年所需費用分別是：22（萬元） 5（萬元） 144（萬元），其中第一二年不鋪管道，第三年一年鋪好，管道費用是139（萬元）。
這裡解釋一下第三年的總費用，雖然超過了每年最少劃款，但是往年剩餘劃款累積可達93（萬元），再加上60（萬元）的最高劃款限度，可以滿足第三年的總支出。
因為結果顯示第三口井在第一年和第二年，第六口井在第一年和第三年中都重複被開採，故將三年打某口井進行微調，最終結果如下：
第二年由打第三口井變為打第五口，第三年由打第六口井變為打第七口井，產水量可以滿足村民需求，第二年的費用增加一萬。綜上所述，在滿足每年村民用水需求的前提下，三年抗旱計畫所需費用為172萬元。
5 模型的評價改進和推廣
本題屬於資源的優化配置中的非線性規劃，在做題的過程中我們深深體會到方法的選決定著解決問題的難易程度，最終我們採用了0-1整數規劃，才使得問題迎刃而解，雖然方法簡單，但解題過程複雜，表現在，在運用lingo12.0時，沒有定義集合，因此使得變數太多，書寫過程顯得複雜，這在某些資料龐雜的模型中不適用。
資源優化和非線性規劃都是現實社會生產決策過程中遇到的重要問題，一方面，本題使用的matlab資料擬合和回歸分析同樣適用於對其他模型的資料分析和**；另一方面，0-1整數規劃可以量化的描述諸如開與關、取與棄、有與無等現象所反映的離散變數間的邏輯關係、順序關係以及互斥的約束條件 ，因此0-1規劃非常適合描述和解決如線路設計 、工廠選址 、生產計畫安排、旅行購物、揹包問題、人員安排、**選取、可靠性等人們所關心的多種問題。
參考文獻：
[1]何皙明,羅佑新.最低成本工藝lingo模型優化方法.現代製造工程，2023年03期
[2]劉淑榮，潘瑩.基於0-1整數線形規劃的運動專案排序問題及lingo軟體實現。長春工程學院學報（自然科學版），2023年04期
附件：0-1guihua過程
0-1guihua結果
jiujin matlab m指令碼檔案
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