第六章描述性統計
㈠ 考試內容總體個體簡單隨機樣本統計量樣本均值樣本方差和樣本矩分布分布分布分位數正態總體常用抽樣分布
㈡ 考試要求
1、了解總體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、樣本方差和樣本矩的概念，其中樣本方差定義為
．2、了解統計推斷常用的分布、分布、分布，了解分位數的概念並會查表算；
3、了解正態總體的常用抽樣分布：正態分佈、分布、分布、分布．
一、 數理統計的基本概念
把研究物件的全體稱為總體，組成總體的每乙個基本單位稱為個體.
把從總體中抽出的一部分個體稱為這個總體的乙個樣本（或稱子樣），乙個樣本中所含的個體數目稱為樣本容量.
樣本容量可大可小，大到可以跟總體數目相等，小到可以只含有乙個個體.
總體是乙個隨機變數，容量為的樣本中的每乙個個體，是乙個隨機變數，樣本記為，在總體中選中個個體後，它們的資料稱為樣本的乙個觀察值.
簡單隨機樣本.首先樣本要能夠代表總體，每個與總體具有相同的分布，若的分布函式為，則分布函式為或；
其次之間是相互獨立的隨機變數.
定義：若相互獨立，而且與同分布，則稱（）是來自總體的容量為的樣本. 若的分布函式為，則的聯合分布函式為和分布密度函式分別為：
稱為樣本的分布（理論分布）.
二、樣本的特徵數（統計量）
定義：設是來自總體的樣本.是乙個不含有未知引數的元函式，則稱為乙個統計量. 如果有樣本的乙個觀察值，則稱為統計量的乙個觀察值.
統計量是樣本的函式，是乙個隨機變數. 以下介紹幾個常用的統計量.
1．均值：資料的算術平均值.
若總體的分布已知，可以求得它的平均值，即數學期望，若總體分布未知，我們利用來自總體的樣本的算術平均值
來刻劃總體的平均值.稱為樣本均值. 它是樣本的函式，是乙個統計量.
2．方差（variance）：
樣本標準差（standard deviation）：
3．其他特徵數
樣本的階原點矩：
樣本的階中心矩：
常用的統計的分布
1．分布
設隨機變數相互獨立，且，則隨機變數
服從自由度為的分布，記作，其中為正整數.
分布的分布密度函式為
分布密度的圖形隨自由度的不同而變化，當很大時接近正態分佈，本書附表中，對不同自由度及不同的概率給出了滿足等式
的的值，同標準正態分佈分位點定義一樣，稱滿足上述條件的點為分布的上分位點．例如：當時，.
分布具有可加性：，，且二者相互獨立，則有
分布的數字特徵：，
2．分布
設隨機變數，且相互獨立，則隨機變數服從自由度為的分布（學生氏t分布），記作. 其分布密度函式為
附表中對不同自由度及常用的概率給出了滿足等式
的的值.稱滿足上述條件的點為分布的上分位點．如：時，，即.
3．分布
設隨機變數相互獨立，且，則隨機變數服從自由度為的分布，記作，其分布密度函式為
分布的圖形如圖5-14. 本書附表中，對不同自由度和常用的概率給出了滿足等式
的的值.稱滿足上述條件的點為分布的上分位點．例如：當時，查表得
即. 另外，由分布的定義可知，若，則有
可得因此在查表計算的值時，可利用求得. 例如：
1．樣本均值的抽樣分布與數字特徵
我們總是假定是來自總體的簡單隨機樣本，，由於是的樣本，因此有. 由數學期望和方差的性質有：
關於的分布，當總體是正態分佈時 ，可以證明仍是正態分佈，且，於是的分布為
2．樣本方差的分布與數字特徵
樣本方差的抽樣分布比複雜得多. 當總體時，可以求得服從自由度為的分布 ，而
定理：設是來自正態總體的樣本，則有
； 3．其它抽樣分布
定理 ：設是來自正態總體的樣本，則有
定理 ：設和分別是來自正態總體和的樣本，且二者相互獨立，則有：
其中 定理：設和分別為來自正態總體和的樣本，相互獨立.
則有例1（f分布）設隨機變數服從自由度為的f分布，則隨機變數服從引數為的分布 ．
分析因為服從自由度為的分布的隨機變數x，可以表示為
，，其中獨立，分別服從自由度為的分布．由分布變數的典型模式，知服從自由度為的分布．
例2（分布） 設是來自正態總體的簡單隨機樣本，記
，則當時, 統計量服從分布，其自由度為
分析由條件知相互獨立且同正態分佈．因此服從正態分佈，而服從正態分佈，並且相互獨立．由變數典型模式知
服從自由度為2的分布，從而a=1/20 , b= 1/100．
例3設獨立同服從標準正態分佈，是算術平均值，則服從引數為的分布．
分析熟知服從正態分佈，因此
服從自由度為「1」的「」分布．
例4總體，是來自總體的簡單隨機樣本，則統計量y服從引數為的分布．
分析由於獨立正態分佈的隨機變數的線性組合仍然服從正態分佈，易見
作為獨立標準正態隨機變數的平方和，
服從分布，自由度為4；隨機變數顯然相互獨立．隨機變數y可以表示為
． 由t分布隨機變數的典型模式，可見隨機變數服從自由度為4的分布．
例5設()是來自正態總體的簡單隨機樣本，則統計量
的概率分布是引數為的分布 ．
分析由分布的典型模式，知
服從自由度相應為10和5的分布，並且相互獨立．從而，由變數的典型模式，知
服從自由度為(10, 5)的分布．
例6（f分布） 設服從自由度為的分布，則服從引數為的分布．
分析由自由度為的t分布隨機變數可以表示為
，其中服從自由度為的分布，並且獨立．由分布變數的典型模式，可見服從自由度為1的分布．因此，由f分布變數的典型模式，可見隨機變數
服從自由度為(1,)的f分布．
例7（f分布） 設隨機變數和都服從標準正態分佈並且相互獨立，則服從引數為的分布，．
分析由於和都服從標準正態分佈，可見和都服從自由度為1的分布．此外，由x和y獨立，可見和．從而，由服從f分布的變數的典型模式，知服從自由度為(1,1)的f分布．
例8（分布） 設總體並且獨立；基於分別來自總體和的容量相應為的簡單隨機樣本，得樣本方差，則統計量
服從引數為的分布．
分析統計量t服從自由度為的分布．由(6.14)知
分別服從自由度為m－1和服從自由度為n－1的分布，並且相互獨立．從而，由分布隨機變數的可加性知，t服從自由度為m+n－2的分布．
例9 設是兩個樣本均值，基於來自同一正態總體的兩個相互獨立且容量相同的簡單隨機樣本，則滿足的最小樣本容量 8 ．
分析由於總體服從正態分佈，可見
．例10（常用分布） 設隨機變數，則d ]
(a)服從正態分佈；(b)服從分布；(c)服從f分布；(d)服從分布．
分析因為標準正態分佈變數的平方服從自由度為1的分布．當隨機變數獨立時可以保證選項(a),(b),(c)成立，但是題中並未要求隨機變數獨立，選項(a),(b),(c)未必成立．
例子11設是來自正態總體的簡單隨機樣本，則服從f分布的統計量是[d]
分析本題可以直接選出正確的選項．事實上，選項（d）可以表示為
．因為隨機變數
分別服從自由度為3和6的分布，並且相互獨立．因此，由服從分布的隨機變數典型模式，知隨機變y量服從自由度為的分布．
例12設總體x的概率密度為，而是來自總體x的簡單隨機樣本，相應為的樣本均值、最小觀測值和最大觀測值，則是
(a)的概率密度． (b)的概率密度． (c)的概率密度． (d)的概率密度．
分析應選（）．作為總體x的乙個觀測值，與總體x有相同的概率密度．
例13假設總體x服從正態分佈，而是來自體x的簡單隨機樣本；的樣本均值，試分別求事件的概率．
解設是標準正態分佈函式．
(1) 由於總體x~，可見樣本均值~，因此
例14設隨機變數，則[c]
（a）；（b）；（c）；（d）
例15設為來自標準正態分佈總體的簡單隨機樣本，為樣本均值，為樣本方差，則有 [d]
（a）；（b）；（c）；（d）
第六章數理統計的基本知識
1.什麼是數理統計？基本概念。數理統計 其目的，是希望認識倍研究物件 即隨機便來年國 的概率特徵，比如它是否服從某種分布。各數字特徵是多少等等，從而為正確決策提供科學依據。總之，概率論是數理統計的理論基礎，數理統計是概率論在自然和社會科學諸方面的實際應用。2.什麼是總體與樣本？基本概念 總體 樣本 ...
第六章基礎知識測試
第六章綠色植物的光合作用和呼吸作用 第一節植物光合作用的發現 一 綠色植物光合作用的發現 1 範 海爾蒙特實驗 在100千克乾燥的細粒土壤中,種了一棵2.5千克重的柳樹,然後往盆 裡澆水,但不供給其他營養物質。五年後，他發現柳樹的重量為82.5千克。土壤曬乾後的重 量僅比原來少100克。說明 綠色植...
第六章電壓電阻基礎知識
一 電壓 一 電壓的作用 1 電壓是形成電流的原因 電壓使電路中的自由電荷定向移動形成了電流。電源是提供電壓的裝置。2 電路中獲得持續電流的條件 電路中有電源 也就是電路兩端有電壓 電路是閉合的。二 電壓的單位 1 國際單位 v 常用單位 kv mv v 換算關係 1kv 1000v 1v 1000...