一．複習目標：
1．熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應用特點，常規使用方法等．
2．熟悉三角變換常用的方法——化弦法，降冪法，角的變換法等．並能應用這些方法進行三角函式式的求值、化簡、證明．
3．掌握三角變換公式在三角形中應用的特點，並能結合三角形的公式解決一些實際問題．
4．熟練掌握正弦函式、余弦函式、正切函式、餘切函式的性質，並能用它研究復合函式的性質．
5．熟練掌握正弦函式、余弦函式、正切函式、餘切函式圖象的形狀、
6．理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，並會用這兩種變換研究函式圖象的變化．
二．考試要求：
1．理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算。
2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解餘切、正割、餘割的定義，掌握同解三角函式的基本關係式，掌握正弦、余弦的誘導公式，理解週期函式與最小正週期的意義。
3．掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4．能正確運用三角公式，進行簡單三角函式式的化簡、求值和恒等式證明。
5．了解正弦函式、余弦函式、正切函式的圖象和性質，會用「五點法」畫正弦函式、余弦函式和函式y=asin(ωx+ψ)的簡圖，理解a、ω、ψ的物理意義。
6．會由已知三角函式值求角，並會用符號arcsin x, arcos x,arctan x表示。
7．掌握正弦定理、餘弦定理，並能初步運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解三角形的計算問題。
三．教學過程：
（ⅰ）基礎知識詳析
（一）三角變換公式的使用特點
1．同角三角函式關係式
(1)理解公式中「同角」的含義．
(2)明確公式成立的條件。
例如，tanα+1=secα，當且僅當≠k
(3)掌握公式的變形．特別需要指出的是 sinα=tanα·cosα，
cosα=cotα·sinα．它使得「弦」可以用「切」來表示．
(4)使用這組公式進行變形時，經常把「切」、「割」用「弦」表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法．
(5)幾個常用關係式
①sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之間可以互相表示．)
同理可以由sinα-cosα或sinα·cosα推出其餘兩式．
當時，有．
2．誘導公式
(1)誘導公式中的角是使公式成立的任意角．
(2)正確使用誘導公式的關鍵是公式中符號的確定．
(3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈z)．
⑷熟記關係式；．
3．兩角和與差的三角函式
(1)公式不但要會正用，還要會逆用2)公式的變形應用要熟悉．
熟記：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ)，它體現了兩個角正切的和與積的關係．
(3)角的變換要能靈活應用，如2等．
4．倍角公式，半形公式
(2)使用二倍角的正弦、余弦公式時，公式的選擇要準確．
如已知sinα，cosα，tanα求cos2α時，應分別選擇cos2α=1
(3)余弦的二倍角公式的變形——公升冪公式、降冪公式必須熟練掌握．要明確，降冪法是三角變換中非常重要的變形方法．
對sin3α，cos3α的公式應記住．
(4)使用正弦、余弦的半形公式時，要注意公式中符號的確定方法．正
在使用無理表示式時，須要確定符號；在使用兩個有理表示式時，無須確定符號，這是與選用無理表示式最大的區別，因此在化簡、證明題中，
5．和差化積、積化和差公式，這兩組公式現在不要求記憶，但要會使用．
(1)要明確，這兩組公式是解決正、余弦的加、減、乘的運算關係式．
(3)對下列關係式要熟記：
6．三角變換：
三角函式式的恒等變形或用三角式來代換代數式稱為三角變換．
三角恒等變形是以同角三角公式，誘導公式，和、差、倍、半形公式，和差化積和積化和差公式，萬能公式為基礎．
三角代換是以三角函式的值域為根據，進行恰如其分的代換，使代數式轉化為三角式，然後再使用上述諸公式進行恒等變形，使問題得以解決．
7．三角形中的三角變換
三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點．
(1)角的變換
因為在△abc中，a+b+c=π，所以
sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=-cosc；tan(a+b)=-tanc．
(2)三角形邊、角關係定理及面積公式，正弦定理，餘弦定理．
r為三角形內切圓半徑，p為周長之半．
在非直角△abc中，tana+tanb+tanc=tana·tanb·tanc．
(4)在△abc中，熟記並會證明：
∠a，∠b，∠c成等差數列的充分必要條件是∠b=60°．
△abc是正三角形的充分必要條件是∠a，∠b，∠c成等差數列且a，b，c成等比數列．
8．三角形的面積公式：
（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）．
（2）△＝absinc＝bcsina＝acsinb．
（3）△＝＝＝．
（4）△＝2r2sinasinbsinc． （r為外接圓半徑）
（5）△＝．
（6）△＝；．
（7）△＝r·s．
9．直角三角形中各元素間的關係：
如圖，在△abc中，c＝90°，ab＝c，ac＝b，bc＝a．
（1）三邊之間的關係：a2＋b2＝c2．（勾股定理）
（2）銳角之間的關係：a＋b＝90°；
（3）邊角之間的關係：（銳角三角函式定義）
sina＝cosb＝，cosa＝sinb＝，
tga＝ctgb＝，ctga＝tgb＝．
10．斜三角形中各元素間的關係:
如圖6-29，在△abc中，a、b、c為其內角，a、b、c分別表示a、b、c的對邊．
（1）三角形內角和：a＋b＋c＝π．
（2）正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
（r為外接圓半徑）
（3）餘弦定理：三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．
a2＝b2＋c2－2bccosa，
b2＝c2＋a2－2cacosb，
c2＝a2＋b2－2abcosc．
（4）射影定理：a＝b·cosc＋c·cosb，
b＝a·cosc＋c·cosa，
c＝a·cosb＋c·cosa．
11．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有乙個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這裡所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形．
解斜三角形的主要依據是：
設△abc的三邊為a、b、c，對應的三個角為a、b、c．
（1）角與角關係：a+b+c = π，
（2）邊與邊關係：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b．
（3）邊與角關係：
正弦定理 （r為外接圓半徑）．
餘弦定理 c2 = a2+b2－2bccosc，b2 = a2+c2－2accosb，a2 = b2+c2－2bccosa．
它們的變形形式有：a = 2r sina，，．
（4）面積公式：
．解斜三角形的常規思維方法是：
（1）已知兩角和一邊（如a、b、c），由a+b+c = π求c，由正弦定理求a、b．
（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用餘弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然後利用a+b+c = π，求另一角．
（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、a），應用正弦定理求b，由a+b+c = π求c，再由正弦定理或餘弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．
（4）已知三邊a、b、c，應餘弦定理求a、b，再由a+b+c = π，求角c．
（二）三角函式性質的分析
1．三角函式的定義域
這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在y軸上的角．
函式y=cotx的定義域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈z)，這兩種表示法都需要掌握．即角x不能取終邊在x軸上的角．
(2)函式y=secx、y=cscx的定義域分別與y=tanx、y=cotx相同．
2．三角函式的值域
(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函式y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1．
(2)復合三角函式的值域問題較複雜，除了代數求值域的方法都可以適用外，還要注意三角函式本身的特點，特別是經常需要先進行三角變換再求值域．
常用的一些函式的值域要熟記．
③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)．
3．三角函式的週期性
(1)對週期函式的定義，要抓住兩個要點：
①週期性是函式的整體性質，因此f(x+t)=f(x)必須對定義域中任乙個x成立時，非零常數t才是f(x)的週期．
②週期是使函式值重複出現的自變數x的增加值．
因為sin(2kπ+x)=sinx對定義域中任乙個x成立，所以2kπ(k∈z，k≠0)是y=sinx的週期，最小正週期是2π．
同理2kπ(k∈z，k≠0)是y=cosx的週期，最小正週期是2π．
因為tan(kπ+x)=tanx對定義域中任乙個x成立，所以kπ(k∈z，k≠0)是y=tanx的週期，最小正週期是π．
同理kπ(k∈z，k≠0)是y=cotx的週期，最小正週期是π．
(3)三角函式的週期性在三角函式性質中的作用
①函式的遞增或遞減區間週期性的出現，每乙個三角函式，都有無數個遞增或遞減區間，這些遞增區間互不連線，遞減區間也互不連線．
②函式的最大、最小值點或使函式無意義的點週期性變化．
③因為三角函式是週期函式，所以畫三角函式圖象時，只須畫乙個週期的圖象即可．
4．三角函式的奇偶性，單調性
研究函式的單調性，關鍵是求函式的單調區間．
5．三角函式的圖象
(1)畫三角函式的圖象應先求函式的週期，然後用五點法畫出函式乙個週期的圖象．
第4講三角問題的題型與方法
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