2009~2010學年度高三數學（人教版a版）第一輪複習資料
第42講高考選做部分（4-1、4-4、4-5）
(2007廣東理)
13．（座標系與引數方程選做題）在平面直角座標系xoy 中，直線l的引數方程為（引數t∈r），圓c的引數方程為（引數），則圓c的圓心座標為_______，圓心到直線l的距離為______.
答案：（0，2）；.
解析：直線的方程為x+y-6=0，d=;
14．（不等式選講選做題）設函式則=_____；若，則x的取值範圍是________；
答案：6；
15．幾何證明選講選做題］如圖所示，圓ｏ的直徑為６，ｃ為圓周上一點。ｂｃ＝３，過ｃ作圓的切線ｌ，過ａ作ｌ的垂線ａｄ，垂足為ｄ，則線段ae的長為_______。
答案：；3。
解析：根據弦切角等於夾弧所對的圓周角及直角三角形兩銳角互餘，很容易得到答案； ae=ec=bc=3；
(2007廣東文)
14．(座標系與引數方程選做題)在極座標系中，直線l的方程為ρsinθ=3，則點(2，π/6)到直線l的距離為
【解析】法1:畫出極座標系易得答案2; 法2:化成直角方程及直角座標可得答案2.
15．(幾何證明選講選做題)如圖4所示，圓o的直徑ab=6，c為圓周上一點，bc=3過c作圓的切線l，過a作l的垂線ad，垂足為d， 則∠dac
【解析】由某定理可知,又,
故.（2007海南、寧夏）
22．請考生在三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時，用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號塗黑．
22．ａ（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講
如圖，已知是的切線，為切點，是的割線，與交於兩點，圓心在的內部，點是的中點．
（ⅰ）證明四點共圓；
（ⅱ）求的大小．
（ⅰ）證明：鏈結．
因為與相切於點，所以．
因為是的弦的中點，所以．
於是．由圓心在的內部，可知四邊形的對角互補，所以四點共圓．
（ⅱ）解：由（ⅰ）得四點共圓，所以．
由（ⅰ）得．
由圓心在的內部，可知．
所以22．ｂ（本小題滿分10分）選修4－4：座標系與引數方程
和的極座標方程分別為．
（ⅰ）把和的極座標方程化為直角座標方程；
（ⅱ）求經過，交點的直線的直角座標方程．
解：以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角座標系，兩座標係中取相同的長度單位．
（ⅰ），，由得．
所以．即為的直角座標方程．
同理為的直角座標方程．
（ⅱ）由解得．
即，交於點和．過交點的直線的直角座標方程為．
22．ｃ（本小題滿分10分）選修；不等式選講
設函式．
（i）解不等式；
（ii）求函式的最小值．
解：（ⅰ）令，則
3分作出函式的圖象，它與直線的交點為和．
所以的解集為．
（ⅱ）由函式的影象可知，當時，取得最小值．
(2008廣東理)13．（座標系與引數方程選做題）已知曲線的極座標方程分別為，，則曲線與交點的極座標為
【標準答案】。
【試題解析】我們通過聯立解方程組解得，即兩曲線的交點為。
【高考考點】極座標、極座標方程
14．（不等式選講選做題）已知，若關於的方程有實根，則的取值範圍是
【標準答案】。
【試題解析】關於的二次方程的判別式，方程有實根，那麼
。即，而，從而，
解得。【高考考點】不等式選講。
15．（幾何證明選講選做題）已知是圓的切線，切點為，．是圓的直徑，與圓交於點，，則圓的半徑
【標準答案】。
【試題解析】依題意，我們知道，由相似三角形的性質我們有，即。
【高考考點】幾何證明選講
(2008廣東文)
14．（座標系與引數方程選做題）已知曲線的極座標方程分別為
，則曲線交點的極座標為
【解析】我們通過聯立解方程組解得，即兩曲線的交點為。
15．（幾何證明選講選做題）已知pa是圓o的切點，切點為a，pa＝是圓o的直徑，pc與圓o交於b點，pb＝1，則圓o的半徑r
【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質我們有,即。
（2008海南、寧夏）
22、（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講
如圖，過圓o外一點m作它的一條切線，切點為a，過a作直線ap垂直直線om，垂足為p。
（ⅰ）證明：om·op = oa2；
（ⅱ）n為線段ap上一點，直線nb垂直直線on，且交
圓o於b點。過b點的切線交直線on於k。證明：∠okm = 90°。
【試題解析】：（ⅰ）證明:因為ma是圓o的切線,所以.
又因為,在中,由射影定理知,
.（ⅱ）證明:因為bk是圓o的切線, ,
同（ⅰ）,有, .
所以,即.
又,所以,故.
【高考考點】圓的有關知識及應用
【易錯點】：對有關知識掌握不到位而出錯
【學科網備考提示】：高考對平面幾何的考查一直要求不高，故要重點掌握，它是我們的得分點之一。
（23）（本小題滿分10分）選修4—4；座標系與引數方程
已知曲線c1：（為引數），曲線c2：（t為引數）。
（ⅰ）指出c1，c2各是什麼曲線，並說明c1與c2公共點的個數；
（ⅱ）若把c1，c2上各點的縱座標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線。寫出的引數方程。與公共點的個數和c公共點的個數是否相同？說明你的理由。
【試題解析】：（ⅰ）c1是圓，c2是直線，
c1的普通方程是，c2的普通方程是.
因為圓心c1到直線的距離是1,
所以c1與c2只有乙個公共點.
（ⅱ）壓縮後的引數方程分別為c1：，
曲線c2：.
化為普通方程為:,: .
聯立消元得,
其判別式,
所以壓縮後的直線與橢圓仍然只有乙個公共點，和c1與c2的公共點的個數相同。
【高考考點】引數方程與普通方程的互化及應用
【易錯點】：對有關公式掌握不到位而出錯
【備考提示】：高考對引數方程的考查要求也不高，故要重點掌握，它也是我們的得分點之一
（24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知函式。
（ⅰ）作出函式的影象；
（ⅱ）解不等式。
【試題解析】:（ⅰ）令，則
3分圖象如圖所示，
（ⅱ）不等式,即.
由得.由函式圖象可知，原不等式的解集為．
【高考考點】絕對值不等式的有關知識及應用本題主要考查引數方程與普通方程的互化，以及轉化與化歸的思想，分析問題與解決問題的能力。
【易錯點】：對絕對值不等式不會靈活分類而出錯
【備考提示】：高考對絕對值不等式的考查要求不高，以中檔題為主，故是我們的得分點之一，平時複習時不要盲目加深。
（2008江蘇卷）附加題
21：從a，b，c，d四個中只能選做2題，每小題10分，共計20分。
a．選修4—1：幾何證明選講
如圖，設△abc的外接圓的切線ae與bc的延長線交於點e，∠bac的平分線與bc交於點d．求證：．
證明：如圖，因為是圓的切線，
所以，,
又因為是的平分線，
所以從而因為 ,
所以 ,故.
因為是圓的切線，所以由切割線定理知，
,而，所以。
b．選修4—2 矩陣與變換
在平面直角座標系中，設橢圓在矩陣對應的變換作用下得到曲線f，求f的方程．
解：設是橢圓上任意一點，點在矩陣對應的變換下變為點
則有，即，所以
又因為點在橢圓上，故，從而
所以，曲線的方程是
c．選修4—4 引數方程與極座標
在平面直角座標系中，點是橢圓上的乙個動點，求的最大值．
解： 因橢圓的引數方程為
故可設動點的座標為，其中.
因此所以，當時，取得最大值2。
d．選修4—5 不等式證明選講
設a，b，c為正實數，求證：．
證明：因為為正實數，由平均不等式可得
即所以，而所以 。
22．【必做題】如圖，設動點p是稜長為1的正方體的對角線上一點，記．當為鈍角時，求的取值範圍．
解：由題設可知，以、、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角座標系，
則有,,,
由，得，
所以顯然不是平角，所以為鈍角等價於
，則等價於，
即 ，得．
因此，的取值範圍是
23．【必做題】．請先閱讀：
在等式（）的兩邊求導，得：，
由求導法則，得，化簡得等式：．
（1）利用上題的想法（或者其他方法），試由等式 （，正整數），證明：．
（2）對於正整數，求證：
（i）； （ii）； （iii）．
證明：（1）在等式兩邊對求導得
移項得（2）（i）在（*）式中，令，整理得 ．
所以（ii）由（1）知．
兩邊對求導，得．
在上式中，令
即 ，亦即
又由（i）知
由①+②得 ．
（iii）將等式兩邊在上對積分，
， 由微積分基本定理，得，
所以 ．
2009廣東卷
13．（座標系與引數方程選做題）若直線（為引數）與直線（為引數）垂直，則 ．
【解析】，得.
14．（不等式選講選做題）不等式的實數解為 ．
【解析】且.
15．（幾何證明選講選做題）如圖4，點是圓上的點， 且， 則圓的面積等於 ．
【解析】解法一：鏈結、，則，∵，，∴，則；解法二：，則.
2009江蘇卷
21.[選做題]在a、b、c、d四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分。請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
a.選修4 - 1：幾何證明選講
如圖，在四邊形abcd中，△abc≌△bad.
求證：ab∥cd.
[解析] 本小題主要考查四邊形、全等三角形的有關知識，考查推理論證能力。滿分10分。
證明：由△abc≌△bad得∠acb=∠bda，故a、b、c、d四點共圓，從而∠cba=∠cdb。再由△abc≌△bad得∠cab=∠dba。
因此∠dba=∠cdb，所以ab∥cd。
b. 選修4 - 2：矩陣與變換
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