慶來學校高中部2011-2012學年下學期複習資料
空間幾何體的結構、三檢視和直觀圖
基礎梳理
1．多面體的結構特徵
(1)稜柱的側稜都互相平行，上下底面是全等的多邊形．
(2)稜錐的底面是任意多邊形，側面是有乙個公共頂點的三角形．
(3)稜臺可由平行於底面的平面截稜錐得到，其上下底面是相似多邊形．
2．旋轉體的結構特徵
(1)圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉一周得到．
(2)圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉一周得到．
(3)圓台可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉半周得到，也可由平行於底面的平面截圓錐得到．
(4)球可以由半圓面繞直徑旋轉一周或圓面繞直徑旋轉半周得到．
3．空間幾何體的三檢視
空間幾何體的三檢視是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三檢視包括正檢視、側檢視、俯檢視．
4．空間幾何體的直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：
(1)畫幾何體的底面
在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交於點o，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交於點o′，且使∠x′o′y′＝45°或135°，已知圖形中平行於x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行於x′軸、y′軸．已知圖形中平行於x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行於y軸的線段，長度變為原來的一半．
(2)畫幾何體的高
在已知圖形中過o點作z軸垂直於xoy平面，在直觀圖中對應的z′軸，也垂直於x′o′y′平面，已知圖形中平行於z軸的線段，在直觀圖中仍平行於z′軸且長度不變．
乙個規律
三檢視的長度特徵：「長對正，寬相等，高平齊」，即正檢視和側檢視一樣高，正檢視和俯檢視一樣長，側檢視和俯檢視一樣寬．若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三檢視中，要注意實、虛線的畫法．
兩個概念
(1)正稜柱：側稜垂直於底面的稜柱叫做直稜柱，底面是正多邊形的直稜柱叫做正稜柱．反之，正稜柱的底面是正多邊形，側稜垂直於底面，側面是矩形．
(2)正稜錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的稜錐叫做正稜錐．特別地，各稜均相等的正三稜錐叫正四面體．反過來，正稜錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心．
例題：1．下列說法正確的是( )．
a．有兩個面平行，其餘各面都是四邊形的幾何體叫稜柱
b．有兩個面平行，其餘各面都是平行四邊形的幾何體叫稜柱
c．有乙個面是多邊形，其餘各面都是三角形的幾何體叫稜錐
d．稜臺各側稜的延長線交於一點
2．用任意乙個平面截乙個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是( c )．
a．圓柱 b．圓錐
c．球體 d．圓柱、圓錐、球體的組合體
解析當用過高線的平面截圓柱和圓錐時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面．
3．某幾何體的三檢視如圖所示，則它的體積是( )．
a．8－ b．8－
c．8－2π d.
解析圓錐的底面半徑為1，高為2，該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積，即v＝22×2－×π×12×2＝8－π，正確選項為a.
4．若某幾何體的三檢視如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是
( )．
解析所給選項中，a、c選項的正檢視、俯檢視不符合，d選項的側檢視不符合，只有選項b符合．
5．乙個幾何體的三檢視如圖所示(單位：m)則該幾何體的體積為________m3.
解析由三檢視可知該幾何體是組合體，下面是長方體，長、寬、高分別為3、2、1，上面是乙個圓錐，底面圓半徑為1，高為3，所以該幾何體的體積為3×2×1＋π×3＝6＋π(m3)．
空間幾何體的結構特徵
【例1】如果四稜錐的四條側稜都相等，就稱它為「等腰四稜錐」，四條側稜稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是( )．
a．等腰四稜錐的腰與底面所成的角都相等
b．等腰四稜錐的側面與底面所成的二面角都相等或互補
c．等腰四稜錐的底面四邊形必存在外接圓
d．等腰四稜錐的各頂點必在同一球面上
[審題視點] 可借助幾何圖形進行判斷．
解析如圖
，等腰四稜錐的側稜均相等，其側稜在底面的射影也相等，則其腰與底面所成角相等，即a正確；底面四邊形必有乙個外接圓，即c正確；在高線上可以找到乙個點o，使得該點到四稜錐各個頂點的距離相等，這個點即為外接球的球心，即d正確；但四稜錐的側面與底面所成角不一定相等或互補(若為正四稜錐則成立)．故僅命題b為假命題．選b.
三稜柱、四稜柱、正方體、長方體、三稜錐、四稜錐是常見的空間幾何體，也是重要的幾何模型，有些問題可用上述幾何體舉特例解決．
空間幾何體的三檢視
【例2】在乙個幾何體的三檢視中，正檢視和俯檢視如圖所示，則相應的側檢視可以為( )．
[審題視點] 由正檢視和俯檢視想到三稜錐和圓錐．
解析由幾何體的正檢視和俯檢視可知，該幾何體應為乙個半圓錐和乙個有一側面(與半圓錐的軸截面為同一三角形)垂直於底面的三稜錐的組合體，故其側檢視應為d.
(1)空間幾何體的三檢視是該幾何體在三個兩兩垂直的平面上的正投影，並不是從三個方向看到的該幾何體的側面表示的圖形．
(2)在畫三檢視時，重疊的線只畫一條，能看見的輪廓線和稜用實線表示，擋住的線要畫成虛線．
【訓練2】 (2011·浙江)若某幾何體的三檢視如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是( )．
解析 a中正檢視，俯檢視不對，故a錯．b中正檢視，側檢視不對，故b錯．c中側檢視，俯檢視不對，故c錯，故選d.
空間幾何體的表面積與體積
基礎梳理
1．柱、錐、臺和球的側面積和體積
2.幾何體的表面積
(1)稜柱、稜錐、稜臺的表面積就是各面面積之和．
(2)圓柱、圓錐、圓台的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環形；它們的表面積等於側面積與底面面積之和．
兩種方法
(1)解與球有關的組合體問題的方法，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關係，並作出合適的截面圖，如球內切於正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的稜長等於球的直徑；球外置於正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等於球的直徑．球與旋轉體的組合，通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側稜和球心或「切點」、「接點」作出截面圖．
(2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三稜錐的高．這一方法迴避了具體通過作圖得到三角形(或三稜錐)的高，而通過直接計算得到高的數值．
例題：1．圓柱的乙個底面積為s，側面展開圖是乙個正方形，那麼這個圓柱的側面積是( )．
a．4πs b．2πs
c．πs d.πs
解析設圓柱底面圓的半徑為r，高為h，則r＝，
又h＝2πr＝2，∴s圓柱側＝(2)2＝4πs.
2．設長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在乙個球面上，則該球的表面積為( )．
a．3πa2 b．6πa2 c．12πa2 d．24πa2
解析由於長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，則長方體的體對角線長為＝a.又長方體外接球的直徑2r等於長方體的體對角線，∴2r＝a.∴s球＝4πr2＝6πa2.
3．(2011·北京)某四面體的三檢視如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是
( )．
a．8b．6
c．10d．8
解析由三檢視可知，該幾何體的四個面都是直角三角形，面積分別為6,6，8,10，所以面積最大的是10，故選擇c.
4．(2011·湖南)設
右圖是某幾何體的三檢視，則該幾何體的體積為( )．
a.π＋12b.π＋18
c．9π＋42 d．36π＋18
解析該幾何體是由乙個球與乙個長方體組成的組合體，球的直徑為3，長方體的底面是邊長為3的正方形，高為2，故所求體積為2×32＋π3＝π＋18.
5．若乙個球的體積為4π，則它的表面積為________．
解析 v＝r3＝4π，∴r＝，s＝4πr2＝4π·3＝12π.
幾何體的表面積
【例1】乙個空間幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的表面積為
( )．
a．48 b．32＋8
c．48＋8 d．80
[審題視點] 由三檢視還原幾何體，把圖中的資料轉化為幾何體的尺寸計算表面積．
解析換個視角看問題，該幾何體可以看成是底面為等腰梯形，高為4的直稜柱，且等腰梯形的兩底分別為2,4，高為4，故腰長為，所以該幾何體的表面積為48＋8.
答案 c
以三檢視為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三檢視進行恰當的分析，從三檢視中發現幾何體中各元素間的位置關係及數量關係．
幾何體的體積
【例2】如圖，某幾何體的正檢視(主檢視)是平行四邊形，側檢視(左檢視)和俯檢視都是矩形，則該幾何體的體積為( )．
a．18 b．12 c．9 d．6
[審題視點] 根據三檢視還原幾何體的形狀，根據圖中的資料和幾何體的體積公式求解．
解析該幾何體為乙個斜稜柱，其直觀圖如圖所示，由題知該幾何體的底面是邊長為3的正方形，高為，故v＝3×3×＝9.
答案 c
以三檢視為載體考查幾何體的體積，解題的關鍵是根據三檢視想象原幾何體的形狀構成，並從三檢視中發現幾何體中各元素間的位置關係及數量關係，然後在直觀圖中求解．
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