山東科技大學2006—2007學年第一學期
《矩陣理論》考試試卷
班級姓名學號
一、單項選擇題(每題2分，共8分)
1、設收斂，則a可以取為
a. b. c. d.
2、設，則m不存在
a. qr分解 b. 滿秩分解 c. 奇異值分解 d. 譜分解
3、設，則a=
a. b. c. d.
4、設3階矩陣a滿足多項式, 且其最小多項式m(x)滿足條件，則a可以相似於
a. b.
c. d.
二、填空題(每題5分，共20分)
1、設，則
2．已知,並且,則矩陣冪級數
3．設矩陣，則a的譜半徑
4、設5階複數矩陣a的特徵多項式為,則
三、（12分）設，試求矩陣b使得。
四、（10分）設，求。
五、證明題(10分)
設是n階複數矩陣，是由a的元素取模後得到的矩陣。設對一切歐幾里德範數為的復向量均有，證明可逆，並求其逆。
六、(10分)複數域c是實數域r上的2維線性空間. 試定義c上的乙個內積,使得1與成為c的乙個標準正交基；並求的長度.
七、(10分) 求矩陣的滿秩分解。
八、(10分)對於任何非零列向量及任何單位列向量，存在householder矩陣h，使得。
九、（10分）在複數域上求矩陣的jordan標準形，並求出可逆矩陣，使得。
山東科技大學2006—2007學年第一學期
《矩陣理論》考試試卷答案
一、（答案aaaab）
1注：a的特徵值為0，-1，而的收斂區間為
2、注：由定理m有n個不同特徵值，故可以對角化
3、注：m的秩為2故無qr分解
4、注：，故
5、注：b中矩陣的最小多項式為
二、1、 e+ 2． 3． 4、 20
注：把e寫成1或i均可；也可有其它等價形式如等
三、解 a的特徵值為－1，－1，1。屬於－1的特徵向量與廣義特徵向量為，；屬於1的特徵向量為。令，
則。令故取，則於是令，則。故
(解法2)更簡單地，a的jordan標準型j如上。則為使只要找到k使得
於是選從而取，則有這個矩陣與a的差別僅在於右上角，而這可以利用相似的初等變換得到，即將k的第3行的1倍加到第1行，自然將其第1列的－1倍加到第三列即可：於是，b=pkp－1，其中p為下面的初等矩陣
此時四、解i a的jordan標準形與過渡矩陣分別為。因此
解2 利用a的最小多項式(x-1)2. 可知必有一次多項式f(x)=ax+b,使得f(a)即為所求。由a+b= f(1)= 與a=f』(1)= 可知b=.於是
五、證明由於 (取=(1,1,…,1)t即可)。故，因此矩陣a的特徵值的模均小於1，從而矩陣的特徵值的模均大於,從而可逆。進一步，矩陣冪級數收斂，其和恰為，因此
＝。六、解對任意xj+yjic，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)·1+yj·(1+i)。為使1與成為c的乙個標準正交基，必要且只要<1,1+i>=0，<1+i,1+i>=1，<1,1>=1, 必要且只要
< x1+y1i, x2+y2i>=(x1-y1) (x2-y2)+ y1y2 .
上式定義了乙個c上的內積：對稱性與正定性是顯然的；且由於該內積還是x1，x2，y1，y2的二次型，故雙線性性質也成立。
在上述內積下，向量x+yi的長度等於[(x-y)2+y2]1/2;因此1－i的長度為51/2.
七、解：對矩陣進行初等行變換
其中所以，；而，其中
由此可見，所以有。
八、[證明] 當時，選u滿足，則
當時，選，有
九、解：由初等變換可得，
所以，與jordan標準形相似。
令，1） 求解方程組，得到，取；
2） 由，得到，取；
3） 由，得到，取；
4） 由，得到，取；
所以，。檢驗有，即。
山東科技大學2010研究生矩陣理論試卷
1、 在矩陣的四個空間中，行空間、列空間、零空間和左零空間中，維數與矩陣的秩相等的子空間是______.
2、 在矩陣的四個基本子空間中，和列空間構成正交補的是_____。
3、 利用qr分解可以講矩陣分解為____和 _____矩陣乘積。
4、 通過矩陣_____分解，可以獲得矩陣四個基本子空間的標準正交基。
5、 將3×3矩陣的第一行加到第三行是初等變換，對應的初等矩陣式_____.
6、 當矩陣的_____空間中有非零向量的時候，線性方程組ax=b有無窮多解。
7、 所有的2×2實矩陣組成乙個向量空間，這個空間的標準基是____.
8、 通過施密特正交化可以獲得矩陣的_____分解。
9、 在選定乙個基後，任何維數為n的歐式空間與_____同構。
10、 如果將矩陣視為線性處理系統，矩陣有m行，n列，則輸入空間的維數是______。
二、判斷題
1、給定乙個線性空間，他的基不是唯一的，但是各個基中的基向量個數是相等的。（）
2、兩個子空間的並集是乙個子空間。（）
3、**性方程組ax=b，當矩陣a式列滿秩的時候，無論向量b是什麼，方程組都有解。（）
4、線性變換在不同的基下的矩陣一般不同，同一線性變換的不同矩陣表示所對應的特徵值都相同。（）
5、線性變換在不同基下的矩陣一般不同，但是對應同一線性變換的各個矩陣的特徵向量都相同。（）
6、矩陣特徵值的代數重數是該特徵值對應的特徵子空間的維數。（）
7、任何n×n的實矩陣都可以對角化。（）
8、矩陣的左逆就是矩陣的最小範數廣義逆。（）
9、任何m×n實矩陣都有奇異值分解。（）
10、正交投影矩陣都是冪等矩陣。（）
三、（矩陣的四個基本子空間和投影矩陣）
設矩陣a為 a=2 4
2 4
1、求矩陣a的四個基本子空間的基和維數
2、畫出矩陣a的四個基本子空間的示意圖。
3、寫出投影到矩陣a的列空間的正交投影矩陣，計算向量b=[0 1]t在列空間上的投影矩陣。
4、寫出投影到矩陣a的左零空間的正交投影矩陣，計算向量b=[0 1]在左零空間上的投影向量。
四、（矩陣奇異值分解的偽逆）設矩陣a為a=2 2
1 1
1、求矩陣a的奇異值分解。
2、通過奇異值分解計算舉著的m-p偽逆。
五、（基變換和座標變換）**性空間v=p3(x)中，有三個向量
f1（x）=-3+2x-x2
f2（x）=-x+2x2
f3(x)=-1+2x-x2
1、 證明b=構成v=p3（x）的乙個基。
2、 設v=p3（x）中有標準基s=，寫出由標準基s到基b 的過渡矩陣。
3、 計算出向量f（x）=3+12x+7x2在基s下的座標向量。
4、 根據前述結果，利用座標變換，計算出向量f（x）=3+12x+7x2在基b下的座標向量。
矩陣理論終極整理版 例題版 山東科技大學
矩陣重點 僅供參考 第一章線性空間的證明 例8.1 線性變換的矩陣表示是重點 第二章例2.2 第三章 最重要的是第三章重中之重就是jordan 引理2.1 重點講的 例2.2題型考試有 定理3.2重點講的 例3.3 3.4重點講的 定理3.5重點講的 例4.1考試題型 約而當標準型重點必須會 例4....
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畢業實習報告書 系 部 機電工程系 專業班級機制10 班 學生姓名 完成日期 20xx年4月25日 山東科技大學 校區 一 畢業實習目的 畢業實習是大學中最後一次理論與實踐相結合的綜合性實踐鍛鍊，能讓自己充分的將所學習的專業知識學以致用，從各方面鍛鍊提高自己的綜合素質，畢業是我們機械設計製造及其自動...