最優化理論與方法第一章習題

1-1設計一體積為5m3，長度不小於4m的無蓋鐵皮箱。若鐵皮的單位面積密度是常數，試確定其長、寬、高的尺寸使其質量最小。

解：由於鐵皮箱面密度為常數，因此問題轉化為鐵皮箱總面積最小。設鐵皮箱的長、寬、高分別為x，y，z。則：

1-2 一矩形截面懸臂梁如圖，其體積質量密度為m。要求在自重條件下自由端撓度不超過的條件下，按最輕重量確定其最佳截面尺寸，試建立其優化數學模型。設材料的彈性模量已知，長度l一定，梁的截面彎曲慣性矩。

圖：解：

1-3以兩桿對稱桁架的極小重量設計為例，考慮下圖所示的平面桁架，它由兩根鋼管構成，頂點為兩桿的共同端點，兩桿的另兩個支點固定.已知桁架的跨度為2l,承受負荷為2p,鋼管的厚度t,材料比重為ρ，縱向彈性模數為e，容許應力為σ。要確定鋼管的平均直徑d和桁架高度h，使桁架重量最小。

1-4 設有400萬元資金，要求4年內使用完，若在一年內使用資金 x 萬元，則可得到效益 x1/2 萬元(效益不能再使用)，當年不用的資金可存入銀行，年利率為10%。試制訂出資金的使用規劃，以使4年內效益之總和最大。

解：設第年的投資資金為，。

對上述模型進行化簡，可得：

1-5 用長3m的某種型號角鋼切割鋼窗用料。每幅鋼窗需長1.5m的料兩件，1.

2m的料3件，1m的料4件，0.6m的料6件。若需製作鋼窗100副，問最少需要多少根這種3m長的角鋼？

解：根據分析有以下幾種切割方法，列表如下：

設第i種方式下消耗的角鋼為根，其模型如下：

1-6 某建築企業3年內有5項工程可以承擔施工任務，每項選定的任務必須在3年內完成，每項工程的年建設費用，期望收入和各年可利用資金數如下表所列，試制定此企業的投標計畫，以使3年的總收入最大。

題1-6的引數：費用（萬元）