2023年全國初中數學競賽試卷答案
（福建賽區）
（考試時間：120分鐘，總分：150分）
一、選擇題（每小題7分，共35分）
1．如果實數，，在數軸上的位置如圖所示，那麼代數式可以化簡為（ ）
a． b． c． d．
2．在平面直角座標系中，滿足不等式的整數點座標
的個數為（ ）
a．10 b．9 c．7 d．5
3．如右圖，四邊形abcd中，ac，bd是對角線，
△abc是等邊三角形．，
ad = 3，bd = 5，則cd的長為（ ）
a． b．4 c． d．
4．小倩和小玲每人都有若干面值為整數元的人民幣．小倩對小玲說：「你若給我2元，我的錢數將是你的n倍」；小玲對小倩說：「你若給我n元，我的錢數將是你的2倍」，其中n為正整數，則n的可能值的個數是（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
5．黑板上寫有共100個數字．每次操作先從黑板上的數中選取2個數，然後刪去，並在黑板上寫上數，
則經過99次操作後，黑板上剩下的數是（ ）
a．2012 b．101 c．100 d．99
二、填空題（每小題7分，共35分）
6．按如圖的程式進行操作，規定：程式執行從「輸入乙個值x」到「結果是否》487？」為一次操作．如果操作進行四次才停止，那麼x的取值範圍是
7．如圖，⊙的半徑為20，是⊙上一點．
以為對角線作矩形，且．
延長，與⊙分別交於兩點，
則的值等於 ．
8．如果關於x的方程的兩個實數根分別為，，
那麼的值為 ．
9．2位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單迴圈，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規則是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分．比賽結束後，所有同學的得分總和為130分，而且平局數不超過比賽局數的一半，則m的值為 ．
10．如圖，四邊形abcd內接於⊙o，ab是直徑，
．分別延長，，交點為．
作，並與的延長線交於點．
若，，則的長為 ．
三、解答題（每題20分，共80分）
11．如圖，在平面直角座標系中，，，．與軸交於點，且．已知經過b，c，e三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應的二次函式的解析式．
12．如圖，⊙o的內接四邊形abcd中，ac，bd是它的對角線，ac的中點i是△abd的內心．
求證：（1）oi是△ibd的外接圓的切線；
（2）．
13．已知整數，滿足：是素數，且是完全平方數．
當時，求的最小值．
14．將（）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到
數（可以相同）使得，求的最小值．
2023年全國初中數學競賽試卷答案（福建賽區）
（考試時間：120分鐘，總分：150分）
一、選擇題（每小題7分，共35分）
1．如果實數，，在數軸上的位置如圖所示，那麼代數式可以化簡為（ c ）
a． b． c． d．
解：由實數，，在數軸上的位置可知，且，所以
2．在平面直角座標系中，滿足不等式的整數點座標的個數為（ b ）
a．10 b．9 c．7 d．5
解：由題設，得．因為，均為整數，所以有
，，，解得，，，，，，，，,以上共計9對
3．如圖，四邊形abcd中，ac，bd是對角線，△abc是等邊三角形．，ad = 3，bd = 5，則cd的長為（ b ）
a． b．4 c． d．
解：如圖，以cd為邊作等邊△cde，連線ae．由於ac = bc，cd = ce，
．所以 △bcd≌△ace， bd = ae．又因為，所以．
在△中，，於是de=，所以cd = de = 4．
4．小倩和小玲每人都有若干面值為整數元的人民幣．小倩對小玲說：「你若給我2元，我的錢數將是你的n倍」；小玲對小倩說：「你若給我n元，我的錢數將是你的2倍」，其中n為正整數，則n的可能值的個數是（ d ）
a．1 b．2 c．3 d．4
解：設小倩所有的錢數為x元、小玲所有的錢數為y元，均為非負整數．
由題設可得．消去x得，，．
因為為正整數，所以的值分別為1，3，5，15．y的值只能為4，5，6，11．
從而n的值分別為8，3，2，1．所以 x的值分別為14，7，6，7．
5．黑板上寫有共100個數字．每次操作先從黑板上的數中選取2個數，然後刪去，並在黑板上寫上數，則經過99次操作後，黑板上剩下的數是（ c ）
a．2012 b．101 c．100 d．99
解：因為，所以每次操作前和操作後，黑板上的每個數加1後的乘積不變．
設經過99次操作後黑板上剩下的數為，則，
解得，，．
二、填空題（每小題7分，共35分）
6．按如圖的程式進行操作，規定：程式執行從「輸入乙個值x」到「結果是否》487？」為一次操作．如果操作進行四次才停止，那麼x的取值範圍是 ．
解：前四次操作的結果分別為
，，，．由已知得，．解得．
容易驗證，當，，，故x的取值範圍是．
7．如圖，⊙的半徑為20，是⊙上一點．以為對角線作矩形，且．延長，與⊙分別交於兩點，則的值等於 ．
解：如圖，設的中點為，連線，則．
因為，所以，．．
8．如果關於x的方程的兩個實數根分別為，，那麼的值為 ．
解：根據題意，關於x的方程有，由此得．
又，所以，．
此時方程為，解得．故
9．2位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單迴圈，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規則是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分．比賽結束後，所有同學的得分總和為130分，而且平局數不超過比賽局數的一半，則m的值為 8 ．
解：設平局數為，勝（負）局數為，由題設知．由此得．
又，所以．
於是，．
由此得或．
當時，，；當時，，，．不合題設．故．
10．如圖，四邊形abcd內接於⊙o，ab是直徑，．分別延長，，交點為．作，並與的延長線交於點．若，，則的長為 ．
解：如圖，連線，，． 由是⊙o的直徑知．
依題設，四邊形abcd是⊙o的內接四邊形，
所以．所以，因此．
因為是⊙o的半徑，，
所以垂直平分，，於是．
因此．由，知．
因為，所以，．
故．三、解答題（每題20分，共80分）
11．如圖，在平面直角座標系中，，，．與軸交於點，且．已知經過b，c，e三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應的二次函式的解析式．
解：因為sin∠abc =，，所以ab = 10．
由勾股定理，得．易知，
因此 co = bo = 6． 於是，，．
設點d的座標為．由，得．
所以，．解得．
因此d為ab的中點，點 d的座標為．因此cd，ao分別為ab，bc的兩條中線，
點e為△abc的重心，所以點e的座標為
設經過b，c，e三點的拋物線對應的二次函式的解析式為．將點e的座標代入，解得a =． 故經過b，c，e三點的拋物線對應的二次函式的解析式為．
12．如圖，⊙o的內接四邊形abcd中，ac，bd是它的對角線，ac的中點i是△abd的內心．
求證：（1）oi是△ibd的外接圓的切線；（2）．
解：（1）如圖，根據三角形內心的性質和同弧上圓周角的性質知
，．所以， ci = cd．
同理，ci = cb ．故點c是△ibd的外心．連線oa，oc，因為i是ac的中點，
且oa = oc，所以oi⊥ac，即oi⊥ci ．故oi是△ibd外接圓的切線
（2）如圖，過點i作ie⊥ad於點e，設oc與bd交於點f．
由，知oc⊥bd．
因為∠cbf =∠iae，bc = ci = ai，所以．所以bf = ae
又因為i是△abd的內心，所以．
故13．已知整數，滿足：是素數，且是完全平方數．當時，求的最小值．
【解答1】設（是素數），（n是正整數）．
因為，所以，．
因為與都是正整數，且（m為素數)，
所以，．
解得，． 於是．又，即．
又因為m是素數，解得． 此時， =2025． 當時，，，．因此，a的最小值為2025．
【解答2】設（是素數），（n是非負整數）。
由於，，，，，
因此，，，，，都不是質數。 5分
由於，且不能被2，3，4，…，44整除，
因此，是質數。………… 10分
（1）當，即時，由以及是素數知，的最小值為。………… 15分
（2）當時，，，
由於，，，都不是質數，而2017是質數。
當時，，不是完全平方數。所以，此時。
由（！）、（2）可知，的最小值為20分
14．將（）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數（可以相同）使得，求的最小值．
解：當時，把分成如下兩個陣列：和．
在陣列中，由於，所以其中不存在數，使得．
在陣列中，由於，所以其中不存在數，使得．
所以下面證明當時，滿足題設條件．不妨設2在第一組，若也在第一組，則結論已經成立．故不妨設在第二組． 同理可設在第一組，在第二組．
此時考慮數8．如果8在第一組，我們取，此時；如果8在第二組，我們取，此時．綜上，滿足題設條件．所以，的最小值為．
注：也可以通過考慮2，4，16，256，65536的分組情況得到n最小值為65536．
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