代數推理題怎麼解
陝西永壽縣中學特級教師安振平
數學是「教會年輕人思考」的科學, 針對代數推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什麼, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什麼要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時將函式與方程, 數形結合, 分類與討論, 等價與化歸等數學思想方法貫穿於整個的解題訓練過程當中.
例1設函式，已知，時恒有，求的取值範圍.
講解: 由
從而只要求直線l不在半圓c下方時, 直線l 的y截距的最小值.
當直線與半圓相切時，易求得捨去）.
故.本例的求解在於實施移項技巧，關鍵在於構造新的函式, 進而通過解幾何模型進行推理解題, 當中, 滲透著數形結合的數學思想方法, 顯示了解題思維轉換的靈活性和流暢性.
還須指出的是: 數形結合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提公升, 還請三思而後行.
例2 已知不等式對於大於1的正整數n恆成立，試確定a的取值範圍.
講解: 建構函式，易證(請思考:用什麼方法證明呢?定義法證明)為增函式.
∵n是大於1的正整數，
對一切大於1的正整數恆成立，必須,
即這裡的建構函式和例1屬於同型別, 學習解題就應當在解題活動的過程中不斷的逐類旁通, 舉一反三, 總結一些解題的小結論. 針對恆成立的問題, 函式最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請提煉你的小結論.
例3 已知函式在區間[－b，1－b]上的最大值為25，求b的值.
講解: 由已知二次函式配方, 得
時，的最大值為4b2+3=25.
上遞減，
上遞增，
關於二次函式問題是歷年高考的熱門話題, 值得讀者在復課時重點強化訓練. 針對拋物線頂點橫座標在不在區間[－b，1－b], 自然引出解題形態的三種情況, 這顯示了分類討論的數學思想在解題當中的充分運用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統一完全依具體的數學問題而定, 需要在解題時靈活把握.
例4已知
的單調區間；
（2）若
講解: （1） 對已知函式進行降次分項變形 , 得,
（2）首先證明任意
事實上,
而.函式與不等式證明的綜合題在高考中常考常新 , 是既考知識又考能力的好題型 , 在高考備考中有較高的訓練價值.. 針對本例的求解, 你能夠想到證明任意採用逆向分析法, 給出你的想法!
例5 已知函式f(x
(1) 證明函式f(x)的圖象關於點p()對稱．
(2) 令，對一切自然數n，先猜想使成立的最小自然數,並證明之．
(3) 求證：∈ｎ).
講解: (1)關於函式的圖象關於定點p對稱, 可採用解幾中的座標證法.
設m(x,y)是f(x)圖象上任一點，則m關於p()的對稱點為m
∴ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，
故函式f(x)的圖象關於點p()對稱.
(2)將f(n)、f(1-n)的表示式代入an的表示式，化簡可得猜a=3,
即3ｎ＞ｎ２．
下面用數學歸納法證明．
設n=k(k≥２)時，3ｋ＞ｋ２．
那麼n=k+1，3
又3k∴３ｎ＞ｎ２.
(3)∵３ｋ＞ｋ２
令k=1,2,…，n，得n個同向不等式，並相加得：
函式與數列綜合型問題在高考中頻頻出現,是歷年高考試題中的一道亮麗的風景線.針對本例,你能夠猜想出最小自然數a=3嗎? 試試你的數學猜想能力.
例6 已知二次函式，設方程的兩個實根為x1和x2.
（1）如果，若函式的對稱軸為x=x0，求證：x0＞－1；
（2）如果，求b的取值範圍.
講解:（1）設，由得, 即
故；（2）由同號.
①若.又，負根舍去）代入上式得
，解得；
②若即4a－2b+3＜0.
同理可求得.
故當對你而言, 本例解題思維的障礙點在**, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問題, 你會很順利的克服嗎? 我們力求做到學一題會一類, 不斷提高邏輯推理能力.
例7 對於函式，若存在成立，則稱的不動點。如果函式有且只有兩個不動點0，2，且
（1）求函式的解析式；
（2）已知各項不為零的數列，求數列通項；
（3）如果數列滿足，求證：當時，恒有成立.
講解: 依題意有,化簡為由違達定理, 得
解得代入表示式，由
得不止有兩個不動點，
（2）由題設得 （*）
且由（*）與（**）兩式相減得：
解得（捨去）或，由，若這與矛盾，，即是以-1為首項，-1為公差的等差數列，；
（3）採用反證法，假設則由（1）知
,有，而當這與假設矛盾，故假設不成立，.
關於本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上:
由得<0或
結論成立；
若，此時從而即數列{}在時單調遞減，由，可知上成立.
比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 對於{}單調性的討論。
數學解題後需要進行必要的反思, 學會反思才能長進.
例8 設a，b為常數，：把平面上任意一點對映為函式
（1）證明：不存在兩個不同點對應於同乙個函式；
（2）證明：當，這裡t為常數；
（3）對於屬於m的乙個固定值，得，在對映f的作用下，m1作為象，求其原象，並說明它是什麼圖象.
講解: （1）假設有兩個不同的點（a，b），（c，d）對應同一函式，即與相同，
即對一切實數x均成立.
特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個不同點矛盾，假設不成立.
故不存在兩個不同點對應同函式.
（2）當時，可得常數a0，b0，使
=由於為常數，設是常數.
從而.（3）設，由此得
在對映f之下，的原象是（m，n），則m1的原象是
.消去t得，即在對映f之下，m1的原象是以原點為圓心，為半徑的圓.
本題將集合、 對映、 函式綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用「活題考死知識」的好題目, 具有很強的訓練價值.
例9 已知函式f(t)滿足對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.
（1）求f(1)的值;
（2）證明：對一切大於1的正整數t，恒有f(t)>t；
（3）試求滿足f(t)=t的整數t的個數，並說明理由.
講解 （1）為求f(1)的值，需令
令.令.
（2）令(※).由,
,於是對於一切大於1的正整數t，恒有f(t)>t.
（3）由※及（1）可知.
下面證明當整數.
(※)得
即……，
將諸不等式相加得
.綜上，滿足條件的整數只有t=1，.
本題的求解顯示了對函式方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2023年全國高考第（21）題中得到了很好的考查.
例10 已知函式f（x）在（－1，1）上有定義，且滿足x、y∈（－1，1） 有
．（1）證明：f（x）在（－1，1）上為奇函式；
（2）對數列求；
（3）求證
講解 （1）令則
令則為奇函式.
（2），
是以－1為首項，2為公比的等比數列．
（3）而本例將函式、方程、數列、不等式等代數知識集於一題，是考查分析問題和解決問題能力的範例. 在求解當中，化歸出等比（等差）數列是數列問題常用的解題方法.
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