最省用工方案
---- 程倩洪燕王露
一、 背景介紹
a公司為了節約成本，和b勞務公司簽訂勞務合同，提出「最省用工方案準則」，即同時滿足多個節省方案時，以節省最多為準則。
目前b勞務公司提供。1種主管職位，5種裝配工職位，7種維修工職位。
優惠方案：
b勞務公司提供用工**方案如下（計價為日工資）：
1). 主模式1：1個主管+任選1個裝配工或維修工， 優惠20元；
2). 主模式2：1個主管+任選2個裝配工或維修工（可以1個裝配工，1個維修工）， 優惠40元；
注：優惠的意思是：如單聘任，總價為各單項的和，參加模式後，付款為總價減去優惠款。
3). 70元兩人：付70元可以聘任參加「70元兩人活動職位」中的兩人；
4). 100元兩人：付100元可以聘任參加「100元兩人活動職位」中的兩人；
5). 維修工第二人半價：第一人原價，第二人半價（兩人**不一樣時，只能**低的享受半價，高的是原價，兩人可以相同）。
舉例如下：
如a公司聘任了1個主管職位（190元），1個維修工「職位6」（60元），1個裝配工「職位1」（45元）。
不優惠的總價：190+60+45=295（元）
1）組合1：主模式1（含維修工「職位6」）+1個裝配工「職位1」，付款：（190+45）-20+60=275（元）
2）組合2：主模式1（含維修工「職位1」）+1個裝配工「職位6」，付款：（190+60）-20+45=275（元）
3）組合3：主模式2（含維修工「職位6」，裝配工「職位1」），付款：（190+45+60）-40=255（元）
4)組合4：主管職位+70元兩件（含維修工「職位6」，裝配工「職位1」），付款：190+70=260（元）
根據「最省用工方案準則」，a公司只需按最優組合「組合3」付款，付255元，獲得所有方案中的最省用工方案。
二、 問題重述
問題1為了幫助b公司實現「最省用工方案準則」，請你給出解決該問題的一般數學模型，在a公司提出聘任數量時，就能按要求給出最優組合方案。你的方案最好具有一定的擴充套件性，在聘任數量、**、模式優惠條件修改後，系統也能自動計算最優組合。如果職位有幾百或幾千種，**方案有幾十或幾百時，問題應該怎樣解決？
問題2按下列表一 ，給出方案的最優組合方式，付款總額，優惠額度（每日），並提供最優組合明細。
表一職位情況和a公司聘任人員數量 1
注：表中「y」表示參加該模式或優惠方案
三、問題分析
b勞務公司提供1種主管職位，5種裝配工職位，7種維修工職位，即13種職位。
設每個職位的工資為、……、，每個職位所要招聘的人數為、……。j代表第j種模式。當=0，第i個職位不選第j種模式；當=1，第i個職位選擇第j種模式。
問題一：
第一小問是屬於多約束條件下的非線性規劃問題，通過對所有可能取到的情況進行約束，列出目標函式，用lingo進行求解。第二小問可以採用動態規劃模型，把不同的模式表示為不同的階段，用狀態函式表示在第種模式採用之後最大優惠值數目。通過對不同的階段的優惠值的求解從中選擇最佳組合。
問題二：
對於問題二，所有工人人數一定的條件下，最大優惠數目是主模式中優惠的數目與其他模式優惠數目之和。並且主模式優惠的數目僅與裝配工和維修工在主模式的數目有關，為（裝配工+維修工），與工種無關，在其他模式中最優惠的數目不僅工種數目而且與人數和組合有關。因此可以先考慮非主模式的情況，就是優先考慮第種模式下的情況。
如維修工可以選擇的模式只有第五種模式或者是主模式，所以在第五種模式中可以採用變數來表示選擇或者不選擇第五種模式，同理可知裝配工也可以通過變數表示是否選用模式三，裝配工三通過變數表示是否選擇模式四。剩下的沒有考慮的工種都具有三種選擇，如維修工裝配工都是具有三種模式可供選擇，在其中選取最大優惠值.最後剩下的工人若要取得優惠最大只能從主模式中選擇，如裝配工維修工都只能從主模式中選擇，這時主模式的優惠值僅僅與剩餘的裝配工和維修工的數目有關，由此可以求出總共的優惠數目。
四、模型假設
1. 公司需要的全部數目都由b公司來提供，沒有第三方公司的參與。
2. 對於公司需求的職工數目公司都能滿足。
3. 公司只能採用選擇以上五種模式增加優惠值.
4. 公司提供的優惠方案長期不變，不隨時間的改變而改變。
五、模型構成
問題一：
1).聘用每個職位的人數應滿足：
對於模式三滿足
對於模式四滿足：
對於模式五滿足：
決策變數：
2).在職位和**方案多種時，把問題以**方案的多少分為不同的模式，在每一種模式下選擇決策變數，表示在第種模式下優惠數目，建立狀態轉移方程，在第種模式下的狀態是，建立方程得：用順序求解法求解出各階段的最優值函式以及相應的決策函式為過程的最優值反推回去就得到最優策略。
問題二：
考慮用動態分析方法比較繁瑣，可以對問題中的模式進行優先考慮，來減少問題的難度。比如對於維修工採用第五種模式比採用主模式明顯省的錢更多，因此優先考慮模式五，維修工採用模式四，維修工七，裝配工，一採用主模式，維修工採用模式三。這樣的情況下就變成成了簡單的線性規劃問題模型中可能取到的情況如上面所示，可以通過lingo進行求解。
六、模型求解
編寫程式在lingo中求解可得如下表所示：
主管數為時的最優解組合
七、結果分析
1.通過這次建模，我們深刻體會到了線性規劃的重要性，因為我們發現，原來線性規劃能在數學建模中起到如此大的作用，這也促使我們在今後不斷鞏固並繼續學習處理資料的能力，以期在今後的建模和工作中靈活應用。
2. 在這個不斷提出方案，不斷的否決或完善，不斷的修正的過程中，我們提高了思維的靈活性和分析問題時的綜合性，對我們今後的學習生活將是一筆巨大的財富。
數學建模最省用工方案
最省用工方案 摘要 這兩個問題都相當於特殊的指派問題。對於問題一，要求我們幫助a公司實現最省用工方案準則，並給出問題的一般數學模型，從而給出a公司聘任數量時的最優組合方案。還要模型具有一定的擴充套件性，使之當聘任數量 模式優惠條件修改後，系統也能自動計算最優組合。對於選取哪種優惠方案並非是確定的，可...
校園交通問題的數學建模方案
2012 大學大學生數學建模競賽 承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始後參賽隊員不能以任何方式 包括 電子郵件 網上諮詢等 與隊外的任何人 包括指導教師 研究 討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料...
關於成立院數學建模俱樂部的方案
11 進行必要的調研和宣傳工作，在校內力爭促使同學們對數學學習有更深入的認識，促進學校的學科建設，在校外能夠讓更多的人了解我校，了解數學，使同學們能夠利用自己的知識為社會服務 12 其他活動內容根據本俱樂部發展狀況和學員需求自行安排。學習方式 校內老師講座和邀請外校專家舉辦講座，加深對數學知識在理論...