訊號與系統實驗三指導書

實驗三一、實驗目的

1.掌握雙線性變換法設計iir數字濾波器的原理與方法;

2. 初步了解matlab訊號處理工具箱中iir數字濾波器設計的常用函式。

二、實驗原理

數字濾波器(digital filter)是指輸入、輸出都是離散時間訊號，通過一定運算關係改變輸入訊號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。數字濾波器在數字訊號處理中起著非常重要的作用，在訊號的過濾、檢測與引數的估計等方面，是使用最為廣泛的一種線性系統。

根據單位序列響應h(n)的長度，數字濾波器可分為無限長衝激響應(iir)數字濾波器和有限長衝激響應(fir)數字濾波器兩種，也稱iir濾波器和fir濾波器。

iir數字濾波器的最通用的方法是借助於模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經有了相當成熟的技術和方法，有完整的設計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設計數字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。

iir數字濾波器的設計以模擬濾波器設計為基礎，常用的型別分為巴特沃斯（butterworth）、切比雪夫（chebyshev）ⅰ型、切比雪夫ⅱ型、貝塞爾（bessel）、橢圓等多種。在matlab訊號處理工具箱裡，提供了這些型別的iir數字濾波器設計子函式。

1. 雙線性變換法設計iir數字濾波器

例: 設計二階巴特沃茲低通數字濾波器設計(取樣頻率fs=4000hz, 截止頻率fc=400 hz)

clcclear

n=2; %階數

fs=4000; %取樣頻率

fc=400; %截止頻率

wc=2*pi*fc/fs; %利用模擬頻率與數字頻率關係，求數字頻率.

[z,p,k]=buttap(n); %以零極點值表示系統函式

[b,a]=zp2tf(z,p,k); %以多項式表示系統函式

wwc=2*fs*tan(wc/2); %反畸變

[bs,as]=lp2lp(b,a,wwc); % lp2lp函式將模擬低通濾波器對映成模擬低通濾波器;若模擬低通%濾波器對映成模擬高通濾波器為lp2hp

[bz,az]=bilinear(bs,as,fs) %雙線性變換法設計iir.. bilinear函式可以對模擬濾波器進

%行雙線性變換，求得數字濾波器的傳輸函式係數.

[h,w]=freqs(b,a,512); % 求模擬頻響特性

subplot(1,2,1);

plot(w*fs,20*log10(abs(h)/abs(h(1))));grid; %畫模擬濾波器幅頻特性，低濾波器hz(1)，高通

%濾波器為hz(512); w為數字頻率, w*fs為模擬頻率.

title('模擬低通濾波器');

xlabel('模擬頻率(hz)');ylabel('幅度db');

wz=[0:pi/512: pi];%wz=[0:pi/512:2*pi]

hz=freqz(bz,az,wz); % 求數字頻響特性

subplot(1,2,2);

plot(wz*fs/2/pi,20*log10(abs(hz)/hz(1)));grid; %低濾波器hz(1)，高通濾波器為hz(512); wz

%為數字角頻率, wz*fs/2/pi為模擬頻率

%plot(wz/pi,20*log10(abs(hz)/hz(1)));grid; %畫雙線性變換法濾波器幅頻圖, %數字頻率wz歸一化為0-1

xlabel('頻率');ylabel('幅度( db)') %給x軸和y軸加標註

%axis([0,2000,-120,0])

title('雙線性變換法頻率響應');

執行結果:bz=[0.0675,0.1349,0.0675];az=[1.0000,-1.1430,0.4128].

所設計的低通數字濾波器系統函式為:

2. 數字濾波器的分析

y = filter(b,a,x) ，輸入x為濾波前序列，y為濾波結果序列，b/a 提供濾波器係數，b為分子， a為分母.

例: 上述數字濾波器對訊號濾波前後的對比。

clcclear

t=0:1/4000:0.05; %取樣頻率為4000hz

f1=sin(2*pi*200*t); %產生200hz訊號(f1頻率在通帶內)

f2=sin(2*pi*400*t); %產生400hz訊號(f2頻率為截止頻率)

f3=sin(2*pi*1000*t); %產生1000hz訊號(f3頻率在阻帶內)

b=[0.0675,0.1349,0.0675]; %二階巴特沃茲低通數字濾波器係數

a=[1.0000,-1.1430,0.4128];

y1=filter(b,a,f1); %對f1進行低通數字濾波器

y2=filter(b,a,f2);

y3=filter(b,a,f3);

subplot(3,1,1);

plot(t,f1,t,y1,'r');axis([0,0.05, -1.2 ,1.

2]);title('濾波輸入訊號f1(藍線),輸出訊號y1(紅線)');xlabel('t'); %grid

subplot(3,1,2);plot(t,f2,t,y2,'r');axis([0,0.05, -1.2 ,1.

2]);title('濾波輸入訊號f2,輸出訊號y2');xlabel('t'); %grid

subplot(3,1,3);plot(t,f3,t,y3,'r');axis([0,0.05, -1.2 ,1.

2]);title('濾波輸入訊號f3,輸出訊號y3');xlabel('t'); %grid

執行後的波形如下:藍線為輸入訊號,紅線為輸入訊號.由圖可知:

對頻率位於通帶內的f1衰減很少,對f2=fc(截止頻率)的訊號衰減為0.707, 頻率位於阻帶內的f3衰減很大。實現了低通濾波作用。

三、實驗內容

1.(座號為單數學生):用雙線性變換法設計四階巴特沃茲低通數字濾波器 (取樣頻率fs=5000hz, 截止頻率fc=500 hz).

(座號為雙數學生): 用雙線性變換法設計四階巴特沃茲高通數字濾波器 (取樣頻率fs=5000hz, 截止頻率fc=500 hz).

2.分析f1=100 hz、f2=500 hz、f3=800hz三種正弦訊號通過該濾波器的前後波形。

四、實驗要求

1.預習實驗原理理論.

2.編寫濾波器設計程式(m檔案),上機執行,得出濾波係數b/a,寫出濾波器系統函式h(z).畫出數字濾波器的幅頻特性曲線.

3. 編寫程式求出f1-f3三種頻率訊號經該濾波器濾波後的波形,並指出對訊號的衰減情況。

思考題:

1. 數字角頻率w與模擬角頻率ω及取樣頻率fs之間有什麼關係?

2. 若fs=1000hz,則模擬頻率f=100 hz、500 hz、1000 hz時,它們對應的數字角頻率分別為多少?

3. 若fs=1000hz, 數字角頻率w=0.1π, 對應的模擬頻率f為多少?

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