一.分式的意義及分式的值
例題1、當x =3時，分式b
x a x 352-+的值為0，而當x =2時，分式無意義，則求ab 的值時多少？
例題2、不論x 取何值，分式
mx x +-212總有意義，求m 的取值範圍。
二.有條件的分式的化簡求值
(一)、著眼全域性，整體代入
例3、已知22006a b +=，求b
a b ab a 42121232
2+++的值.
例4、已知311=-y x ，求y
xy x y xy x ---+2232的值.
二、巧妙變形，構造代入
例5、已知2
520010x x --=，求21)1()2(23-+---x x x 的值.
例6. 已知a b c ，，不等於0，且0a b c ++=， 求)11()11()11
(ba c c a
bc b a +++++的值.
三、引數輔助，多元歸一
例7 、已知
432z y x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值。
.四、打破常規，倒數代入
例8、已知41=+x x ，求1
242++x x x 的值.
例9. 已知5
1,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab ,求bc ac ab abc ++的值.
(五)活用(完全平方)公式,進行配方.
例10.設實數y x ,滿足025682
2=++++y x y x ，求y x x y xy x y x 24442222+-++-的值。
(六)大膽消元,解後代入
例11.已知a ＋b －c=0，2a －b+2c=0(c ≠0),求
cb a
c b a 235523+-+-的值. 三. 無條件的分式的求值計算
例10.計算:
)1(1+a a ＋)2)(1(1++a a ＋)3)(2(1++a a ＋…＋)2006)(2005(1++a a 。
例題11、計算)
2009)(2007(2)5)(3(2)3)(1(2+++++++++x x x x x x
四.分式方程的無解及增根
(1)給出帶引數的分式方程求增根
例12.關於x 的方程2
346222+=-+-x x x x 有增根．則增根是( ) a 2 b.-2 c.2或-2 d. 沒有
(2)已知分式方程的增根求引數的值
例13. 分式方程x x m x x x -+-=+111
有增根x =1，則m 的值為多少？
(3)已知分式的的有增根求引數值
例14. 已知分式方程
3312x ax x +++=有增根，求a 的值。
(4)已知分式方程無解求引數的值
例 15（2007湖北荊門）若方程32x x --=2m x
-無解，則m=——————． 解：原方程可化為32x x --=－2
m x -． 方程兩邊都乘以x －2，得x －3=－m ．
解這個方程，得x=3－m ．
因為原方程無解，所以這個解應是原方程的增根．即x=2，
所以2=3－m ，解得m=1．
故當m=1時，原方程無解．
例16.當a 為何值時，關於x 的方程223242
ax x x x +=--+①無解？ 此時還要考慮轉化後的整式方程（a －1）x ＝－10本身無解的情況，解法如下： 解：
方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）
整理得（a －1）x ＝－10
若原方程無解，則有兩種情形：
（1）當a －1＝0（即a ＝1）時，方程②為0x ＝－10，此方程無解，所以原方程無解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那麼原分式方程無解．原方程若有增根，增根為x ＝2或－2，把x ＝2或－2代入方程②中，求出a ＝－4或6．
綜上所述，a ＝1或a ＝一４或a ＝6時，原分式方程無解．
結論：弄清分式方程的增根與無解的區別和聯絡,能幫助我們提高解分式方程的正確性,對判斷方程解的情況有一定的指導意義．
(5)已知分式方程解的情況求引數的範圍
例17.已知關於x 的方程
x m x x --=-323有負數解，求m 的取值範圍。
五.閱讀理解型問題
例18.閱讀下列材料方程
11x +－1x =12x -－13x -的解為x =1, 方程1x －11x -=13x -－14x -的解為x =2, 方程11x -－12x -=14x -－15
x -的解為x =3,… (1) 請你觀察上述方程與解的特徵,寫出能反映上述方程一般規律的方程,並求出這個方程的
解.(2) 根據(1)中所求得的結論,寫出乙個解為－5的分式方程.
例19.閱讀下列材料:
關於x 的分式方程x ＋
x1=c ＋c 1的解是x 1=c ，x 2=c 1; x －x 1= c －c 1，即x ＋x 1-=c+c
1-的解是x 1=c ，x 2=－c 1； x ＋x 2=c ＋c 2的解是x 1=c ，x 2=c
2； x ＋x
3=c ＋c 3的解是x 1=c ，x 2=c 3. (1) 請觀察上述方程與解的特徵,比較關於x 的方程x ＋x m =c ＋c m (m ≠0)與它的關係,猜想它的解是什麼,並利用方程解的概念進行驗證.
(2) 由上述的觀察,比較,猜想,驗證可以的出結論;
如果方程的左邊是未知數與其倒數的倍數的和,方程右邊形式與左邊的完全相同,只是把其中未知數換成某個常數.
那請你利用這個結論解關於x 的方程:x ＋
12-x =a+1
2-a練一練:
1.已知
511=+y x ,求y xy x y xy x +++-2232的值.
2.已知
211=+y x ,求分式y
x xy y y x x 33233++++的值 3. 若ab b a 32
2=+,求分式)21)(21(222b a b b a b -+-+的值
4. 若1=ab ,求2
21111b a +++的值 5.已知x x 12=+,試求代數式3
4121311222+++--+-+x x x x x x x 的值 6.已知23=-+b a b a ,求分式ab
b a 2
2-的值 .7.已知y x =34，求x x y +＋y x y
-－x x y +的值. 8. 若2132=+-x x x ,求分式1
242++x x x 的值. 9.已知2
11222-=-x x ,求)1()1111(2x x x x x +-÷+--的值.
10. 若
ac z c b y b a x -=-=-，求x+y+z 的值 11. 已知abc =1，求證：
1111=++++++++c ac c b bc b a ab a 。
關於x 的方程
3-x x -2=3
-x m 有乙個正數解，求m 的取值範圍。 18、如果記 ()x f x x y =+=221，並且()1f 表示當x=1時y 的值，即f(1)=2211211=+；f(12)
表示當x=1
2時y的值，即f(
12)=22
1()1215
1()2=+
；…那麼f(1)+f(2)+f(
12)+f(3)+f(
13)+…
+f(n)+f(1
n)= （結果用含n的代數式表示）。
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