第一講 2.1花邊有多寬（1）
[新知講解]
1、滿足下列條件的方程叫一元二次方程：
（1）只含有乙個未知數；（2）整式方程；（3）能化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式。
2、在任何情況下都應該重視一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中的條件a≠0。
3、一元二次方程ax2+bx+c=0中，a叫做二次項係數，b叫做一次項係數，c叫做常數項。
4、能使一元二次方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫一元二次方程的解，它也叫做該方程的根。
注：一元方程的解都叫根。
5、估計一元二次方程的解的取值範圍的一般步驟是：
（1）列表，並利用未知數的取值分別計算方程ax2+bx+c=0（a≠0）中ax2+bx+c的值；
（2）在表中找出使ax2+bx+c的值可能等於0的未知數符合要求的範圍；
（3）進一步在（2）中的範圍內列表、計算、估計範圍，直到符合題中精確度要求為止。
6、直接開平方法：把方程左右兩邊變形成完全平方，右邊是非負數的形式，再將兩邊開平方。即化成形如的形式後，如果b≥0，則兩邊開平方，得x+a=±再求解；如果b<0，則方程沒有實數根。
[典例解析]
例1、下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是
（1）x2=32）x2—5x=12+x23）x2+2xy—3=0
變式訓練：下列關於x的方程中：①k2+5k+6=0；②x2—x—=0；③（m2+3）x2+x—2=0；④（k—1）x2—（k—1）x=k—1。是關於x的一元二次方程的是只填序號）
例2、將一元二次方程化成一般形式，並指出它的二次項係數、一次項係數和常數項。
（1）3—4x=—5x22）（x—1）2—2mx=4
變式訓練：將下列一元二次方程化成一般形式，並指出它的二次項係數、一次項係數和常數項。
（1）4x—5 = —3x2—52）2x—4x2—5=6—11x2+2x3）ax+bx2=c
例3、m為何值時，方程mx2+nx=5x2—4是關於x的一元二次方程？m，n滿足什麼條件時，方程是關於x的一元二次方程？
變式訓練：若方程(m—1)—2x=3是關於x的一元二次方程，則m的值是（ ）
a、1或—1 b、1 c、—1 d、1，—1，0
例4、估計方程x2+x—1=0的解的取值範圍。（精確到十分位）
解：將方程左端列表、試值，然後逐步縮小範圍。
從表中可見，能使x2+x—1=0的x的值有兩個，其範圍為
繼續列表如下：
從表中可見，能使x2+x—1=0的x的值有兩個，其範圍為
變式訓練：估計方程x2—2x—1=0的正數解的範圍。（精確0.01）。
解：將方程左端列表、試值，然後逐步縮小範圍。
從表中可見，能使x2—2x—1=0的x的值有兩個，其範圍為—1根據題意，得x的正數取值範圍為
繼續列表如下：
可見使x2—2x—1=0的x的正數值的取值範圍是
繼續列表如下：
可見使x2—2x—1=0的x的正數值的取值範圍是
繼續列表如下：
所以，未知數x的正數解精確到0.01時，取值範圍是_______。
例5、若a，b，c是非零實數，且a—b+c=0，則有乙個根是1的方程是（ ）
a、ax2+bx+c=0b、ax2—bx+c=0
c、ax2+bx—c=0d、ax2—bx—c=0
例6、用直接開平方法解方程：（1）x2=4； （2）3x2=6； （3）（x—5）2=11
變式訓練：
1、關於x的一元二次方程（a—1）x2+x+a2—1=0的乙個根是0，則a的值為（ a ）
a、—1 b、1c、—1或1 d、
2、解方程：（1）x2=8； （2）3x2=72； （3）（x+3）2=13
3、解方程：（1）3(2x+1)2=16；（2）(2x—5)2=(5x+2)2
[分層達標訓練]
a組 1、方程2(x+2)+8=3x(x—1)的一般形式為二次項係數是一次項係數是常數項是
2、有一長方形游泳池長比寬多4公尺，它的面積是60平方公尺，若設它的寬為x公尺，則長可表示為公尺，可列出方程為
3、已知關於x的方程(m+)+2(m—1)x—1=0
（1）m為何值時，原方程是一元二次方程？（2）m為何值時，原方程是一元一次方程？
4、如果2x2—3x—1與a(x—1)2+b(x—1)+c是同乙個多項式的不同形式，求的值。
第二講 2.1花邊有多寬（2） 2.2 配方法
[新知講解]
1、配方法：①方程左右兩邊同除以二次項係數，將二次項係數化為1；②移項、合併同類項，使方程左邊為二次項、一次項，右邊為常數項；③配方，方程兩邊都加上一次項係數一半的平方，使方程左邊為乙個完全平方式，右邊是乙個常數的形式。最後得到形如(x+a)2=b的形式，利用直接開平方法求解。
2、根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式是b2—4ac（又名△）
（1）若b2—4ac>0，方程有兩個不相等的實數根；（2）若b2—4ac=0，方程有兩個相等的實數根；
（3）若b2—4ac<0，方程沒有實數根。
[典例解析]
例1、用配方法解下列方程：（1）x2+4x+3=0; （2）2x2+4x—3=0
變式訓練：用配方法解下列方程：（1）x2+6x+3=0； （2）2x2+8x—3=0
例2、用配方法解下列方程：(x+2)2—5x+6=12
例3、用配方法解關於x的方程：x2—2x+m=0
思路點拔：注意配方後，方程的右邊能否開平方。
變式訓練：用配方法解關於x的方程：x2—4mx—1=0
[思維拓展]
例4、用配方法解關於x的方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
思路點拔：注意配方後，方程的右邊能否開平方進行討論。
例5、不解方程，判別下列方程的根的情況：
（1）5x2—7x+5=0； （2）5x2—5=7x； （3）x2=9—6x
變式訓練：不解方程，判別下列方程的根的情況：
（1）4x2—3x—2=0；（2）4x2+1= —3x；（3）4x2+1= —4x
例6、已知關於x的方程x2—mx+2=0有兩個相等的實數根，求m的值。
變式訓練：關於x的方程x2+(2k—1)x+k2—=0有兩個相等的實數根，求k的值。
例7、關於x的方程x2—2(m—2)x+m2=0有兩個不相等的實數根，求m的取值範圍。
例8、關於x的一元二次方程(1—2k)x2—2x—1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值範圍。
思路點拔：本題應重視三個條件，你找找看。
變式訓練：
1、關於x的一元二次方程(1—k)x2—2x—1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值範圍。
2、關於x的方程x2+2x+1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值範圍。
[分層達標訓練] a組
1、解下列方程：
（1）4(x—1)2=9； （2）3(t—4)2—4=0； （3）4(5y+2)2+1=0
（4）m2=4m—3； （5）2x2+5x—1=0； （6）x2+ x=2
b組2、關於x的方程x2+mx+8=0有兩個相等的根，求m的值。
3、關於x的方程kx2+2x—1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值範圍。
4、關於x的一元二次方程(2a—1)x2+(a+1)x+1=0的兩個根相等，求a的值。
第三講 2.3公式法 2.4分解因式法
[新知講解]
1、公式法：
公式法的一般步驟：①把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；②找出a，b，c即二次項係數、一次項係數、常數項，計算b2—4ac；③如果b2—4ac≥0，利用求根公式x=求解；如果b2—4ac<0，則方程沒有實數根。
2、利用公式法解一元二次方程的關鍵是將原方程化為一般形式。
3、分解因式法：
分解因式法的一般步驟：①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個一次因式的積；③令每個一次因式等於0，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。
[典例解析]
例1、用公式法解下列方程：
（1）x2+6x+3=0； （2）x2—2x+1=0
變式訓練：用公式法解下列方程：
（1）x2+4x+5=0； （2）2x—(x2+1)=0
例2、用公式法解下列方程：
（1）4x2+9=12x； （2）(x+2)2—5x+6=12
變式訓練：用公式法解下列方程：
（1）9x2+1=—6x； （2）(x—2)2—4x+6=12
[思維拓展]
例3、用公式法解下列關於x的方程：x2—4mx—1=0
例4、用分解因式法解下列方程：
（1）x2+4x+3=02）(2x+3)2=2x+3
思路點拔：注意利用分解因式法解一元二次方程的重要步驟之一：將方程右邊化為零，否則有可能漏根。
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