第十章線性代數初步
一、學習要點
● 知道行列式的定義，熟記行列式的性質．
● 掌握行列式的按行按列展開法則．
● 掌握2、3階行列式的計算，會計算簡單的n階行列式．
● 掌握cramer法則．
● 理解矩陣的概念，掌握矩陣的運算（線性運算、乘法、方陣的轉置和求逆矩陣）．
● 熟練掌握矩陣的初等變換．
● 熟記齊次線性方程組有非零解的充分必要條件．
● 掌握齊次線性方程組解的性質與解空間、基礎解系與通解．
● 熟記非齊次線性方程組有解的充分必要條件．
● 掌握齊次線性方程組解的性質與解的結構．
二、相關知識總結
1．二、三階行列式的計算（對角線法則）
二階行列式：＝
三階行列式：
2．高階行列式計算
（1）拉普拉斯展開定理
（i=1，2，…，n）
或（ j=1，2，…，n）
（2）高階行列式的計算可以利用行列式的性質，將其轉化為三角形行列式，再求其值．
性質1：行列式轉置以後其值不變，即．
性質2：交換行列式中任意兩行（列）的位置，行列式改變符號．
性質3：把行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數k，等於以數k乘以
該行列式．
性質4：如果行列式的某一行（列）的元素為兩組數的和，那麼該行列式可以分成兩個行列式之和．而且這兩個行列式除這一行（列）以外的其他元素與原行列式的對應元素一樣．
性質5：如果用數k乘以行列式中的某一行（列）的所有元素，然後加到另一行（列）的對應元素上去，所得行列式的值不變．
3．克拉默法則求解線性方程組
克拉默法則：若n元線性方程組（方程的個數與未知量的個數相等）係數行列式，那麼此方程組有唯一解，且，，…，，其中是把係數行列式中的第列的元素，用方程組的常數項b1，b2，…，bn替換而得到的n階行列式
4．矩陣的概念，熟練掌握矩陣的運算（包括線性運算、乘法、方陣的轉置和求逆矩陣）及其相關性質
5．矩陣的初等變換：初等行變換與初等列變換統稱為初等變換，包括：互換變換、倍乘變換、倍加變換．能夠利用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣
6．理解矩陣秩的定義，能夠求解矩陣的秩
7．非齊次線性方程組有解的判定：
已知線性方程組非齊次線性方程組的係數矩陣
與增廣矩陣
的秩分別為和，則
（1）當時，方程組有解，此時也稱方程組是相容的，且當
時，方程組有唯一解；當時，方程組有無陣列解．
（2）當時，方程組無解，此時也稱方程組是不相容的．
8．理解齊次線性方程組基礎解系的概念，並能夠求解
9．理解非齊次線性方程組解的結構並能求其通解
如果是非齊次線性方程組的乙個特解，那麼非齊次線性方程組的任意乙個解都可以表示成，其中是非齊次線性方程組對應的齊次線性方程組的乙個解．
所以要求非齊次線性方程組的通解，只要求出其乙個特解和其對應的齊次線性方程組的通解，則通解為．
三、重點例題剖析
（一）基礎題
1.用對角線法則計算下列行列式：
（12）；
（34）.
解（1）原式
（2）由對角線法則
原式46．
（3）由對角線法則原式.
（4）由對角線法則原式.
2.計算下列行列式的值：
（12）；
（34）.
解 （1）分析：此題是四階行列式，可採用降價法。
===0.
（2）分析：利用行列式的性質將行列式化為上三角行列式，從而算出行列式的值．
（3）分析：注意到行列式的各行(列)對應元素相加之和相等這一特點，把第2列至第n列的元素加到第1列對應元素上去，得
.（4）
= ==.
3.設矩陣
求乘積ab．
解因為a是2×3矩陣，b是３×２矩陣，a的列數等於b的行數，所以矩陣a與b可以相乘，ab=c是2×2矩陣．由定義2.3有
4.設, 求
解.5.計算下列乘積：
(1)； (2)； (3)；
(4).
解 (1) .
(2) .
(3) .
(4) .
6.設列矩陣滿足e為n階單位矩陣，證明h是對稱陣，且
證所以h是對稱陣．
7.求下列矩陣的逆矩陣：
(12)；
(34)；
(5) .
解 （1）
故 .
（2） 故存在
從而 .
(3), 故存在
而故 .
(4) 將a分塊如下：
其中由於
所以(5)由對角矩陣的性質知 .
8.解下列矩陣方程：
(1)； (2)；
(3).
解 (1) .
(2).(3)
.9.已知矩陣a滿足關係式，求.
解設法分解出因子，由，有, 即
得10.求下列矩陣的秩：
(12) ；
(3) .
解 (1)
秩為2.
(2)秩為2.
(3)秩為3.
11.求解下列齊次線性方程組:
(12)
解 (1)對係數矩陣實施行變換:
即得故方程組的解為
(2)對係數矩陣實施行變換:
即得故方程組的解為
12.求解下列非齊次線性方程組:
(12)
解 (1)對係數的增廣矩陣施行行變換,有
而,故方程組無解．
(2) 對係數的增廣矩陣施行行變換:
即得亦即.
13.求下列齊次線性方程組的基礎解系:
(1) (2)
解 (1)
所以原方程組等價於
取得取得
因此基礎解系為.
(2)所以原方程組等價於
取得取得
因此基礎解系為.
14.求解下列線性方程組:
(1) （2）
（3）解 （1）
由此得寫成
記則寫成向量形式
為任意常數，其中，
就是原方程組的乙個基礎解系．
（2）對增廣矩陣施行初等行變換
知r（ａ）＝２，r（)＝３，方程組無解．
（3）對增廣矩陣施行初等行變換
即得寫成向量形式為
15. 非齊次線性方程組
當取何值時有解？並求出它的解．
解 方程組有解，須得
當時,方程組解為
當時,方程組解為.
16. 設是齊次線性方程組的乙個基礎解系，判定是否也是的基礎解系．
解顯然是的解，故只需判定是否線性無關．設有使
即亦即由於線性無關，所以
上面方程組的係數行列式不等於0，則只有零解，所以線性無關，因而也是方程組的基礎解系．
（二）提高題
1.證明:
(1) =；
(2) =；
(3)；
(4)..證明
(1)左邊
右邊.(2)左邊
右邊.(3)左邊
.(4)左邊==
= =.
2.計算行列式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）,.
解 （1）從第4行開始，後行減前行，得
.（2）（按最後一行展開）
(再按最後一行展開)
.（3）將第一行乘-1分別加到其餘各行，得
再將各列都加到第一列上，得
.（4）按第一行展開
（按最後一行展開）
由此得遞推公式：即而
得（5）
.3.設
求（1）（2）
解將a中第三行的元素依次換成5，5，5，3，3.則第二行與第三行的對應元素相等，於是行列式的值等於0.按第三行展開，則有（1）
同理，將a中第三行的元素換成第四行的對應元素，按第三行展開則有（2）
解 （1），（2）聯立方程組，得
4.問λ取何值時，齊次線性方程組
有非零解?
解齊次線性方程組有非零解，則其係數行列式d＝０，
4(4-λ)-4(6-λ)
=（5-λ)(2-λ)(8-λ),由ｄ＝０得
5.計算下列乘積：
（1）；
(2).
解 （1）
.（2）.
6.設,求.
解利用數學歸納法證明:
當時,顯然成立,假設時成立,則時
由數學歸納法原理知:.
7.設,其中, ,求.
解故所以
而故.8..解.
9.設階矩陣的伴隨矩陣為，證明：
(1)若,則；
(2).
證明(1) 用反證法證明．假設則有
由此得這與矛盾，故當時
有.(2) 由於, 則
取行列式得到:
若則若由(1)知此時命題也成立
故有.10.設,求及
解 ，令 則故
.11.取何值時,非齊次線性方程組
(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多個解?
解 (1),即時方程組有唯一解.
(2)由得時,方程組無解.
(3) ,由,
得時,方程組有無窮多個解.
12.設,求乙個矩陣,使,且
.解由於,所以可設則由
可得,解此非齊次線性方程組可得唯一解
，故所求矩陣．
13.設四元非齊次線性方程組的係數矩陣的秩為3，已知是它
的三個解向量．且
， 求該方程組的通解．
解由於矩陣的秩為3，，一維．故其對應的齊次線性
方程組的基礎解系含有乙個向量，且由於均為方程組的解，由
非齊次線性方程組解的結構性質得
為其基礎解系向量，故此方程組的通解：，.
14.設都是階方陣，且，證明．
證明設的秩為，的秩為，則由知，的每一列向量
都是以為係數矩陣的齊次線性方程組的解向量．
(1) 當時,該齊次線性方程組只有零解,故此時,
，，結論成立．
(2) 當時,該齊次方程組的基礎解系中含有個向量,從而
的列向量組的秩,即,此時,結論成立。
綜上,．
四、測試題
1.選擇題：
（1）三階行列式的值為（ ）.
a.6b.5c.8d.12
（2）若，則必有（ ）.
ab.c.或d.且
（3）計算行列式
a.-180 b.-120 c.120 d.180
（4）若a為3階方陣且| a-1 |=2，則| 2a
ab.2c.4 d.8
（5）下列等式中，正確的是（ ）.
a． b．3=
c．5 d．
（6）設a、b均為n階可逆矩陣，且c=，則c-1是（ ）.
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