第十一章概率
一、學習要點
1.了解隨機事件的概念及表示，掌握事件之間的關係及其運算．
2.理解古典概型的定義，會計算簡單的古典概型問題，了解幾何概型．
3.理解條件概率概念，會用乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式進行概率計算．
4.理解事件獨立性的概念，會用事件獨立性進行概率計算．
5.理解隨機變數的概念，理解離散型隨機變數及其分布律的概念．
6.掌握簡單的離散型隨機變數的分布律的計算．
7.理解期望和方差的概念，掌握離散型隨機變數期望和方差的性質及運算．
二、相關知識總結
1．事件的3種運算：事件的並、事件的交、事件的差
2．事件的關係：包含關係、相等關係、互斥關係、對立關係
3．事件的運算法則：交換律、結合律、分配律、對偶律
4．古典概型中的相關概率：
5．概率的基本性質和定理
性質：（1）． （2）．
（3）如果和互斥，則．
加法定理
乘法定理或
6．條件概率：
7．事件的獨立：
（1）定義：
（2）獨立的充要條件：或
（3）性質：事件a、b相互獨立，則事件與b、a與、與也是相互獨立的．
8．全概率公式：
9．貝葉斯公式： （）
10．二項分布：
若x~，則 （）
11．期望：
（1）定義：e(x)=
（2）性質：e(c)=c，e(ax+b)=ae(x)+b
12．方差：
（1）定義：d(x)=
常用式：
（2）性質：，，
三、重點例題剖析
（一）基礎題
1.設a，b，c為三個事件，試用a，b，c的運算關係式表示下列事件：
（1）a發生，b，c都不發生；
（2）a與b發生，c不發生；
（3）a，b，c都發生；
（4）a，b，c至少有乙個發生；
（5）a，b，c都不發生；
（6）a，b，c不都發生；
（7）a，b，c至多有2個發生；
（8）a，b，c至少有2個發生.
解 （1）a. （2）ab. （3）abc.
（4）a∪b∪c=c∪b∪a∪bc∪ac∪ab∪abc=.
(56).
(7) bc∪ac∪ab∪c∪a∪b∪==∪∪.
(8)ab∪bc∪ca=ab∪ac∪bc∪abc.
2.乙個袋內裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.
解設ai=（i=2,3），顯然a2與a3互斥.
故 3.某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：
(1)在下雨條件下下雪的概率；(2)這天下雨或下雪的概率.
解設a=，b=.
(1).
(2).
4.有甲、乙兩批種子，發芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機取一粒，求：
(1)兩粒都發芽的概率；
(2)至少有一粒發芽的概率；
(3)恰有一粒發芽的概率.
解設ai=，（i=1,2）
(1).
(2).
(3).
5.設a，b為隨機事件，且p（a）=0.7,p(a b)=0.3，求p（）.
解 p（）=1 p（ab）=1[p(a) p(a b)]
=1[0.7 0.3]=0.6.
6.設a，b，c為三事件，且p（a）=p（b）=1/4，p（c）=1/3且p（ab）=p（bc）=0， p（ac）=1/12，求a，b，c至少有一事件發生的概率.
解 p（a∪b∪c）=p(a)+p(b)+p(c) p(ab) p(bc) p(ac)+p(abc)
=++=.
7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設男人和女人各佔人數的一半）.
解設a=，b=，則由貝葉斯公式
8.設兩個相互獨立的事件a和b都不發生的概率為1/9，a發生b不發生的概率與b發生a不發生的概率相等，求p（a）.
解故故由a,b的獨立性，及①、③式有
故故或（捨去）
即p（a）=.
9.設隨機變數x的分布律為
p=a/n， k=1，2，…，n，
試確定常數a.
解由分布律的性質知
即 .
10.一袋中有5只桌球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以x表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變數x的分布律.
解故所求分布律為
11.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標的次數的分布律及分布函式，並求3次射擊中至少擊中2次的概率.
解設x表示擊中目標的次數.則x=0，1，2，3.
故x的分布律為
分布函式
.12.設事件a在每一次試驗中發生的概率為0.3，當a發生不少於3次時，指示燈發出訊號，
（1）進行了5次獨立試驗，試求指示燈發出訊號的概率；
（2）進行了7次獨立試驗，試求指示燈發出訊號的概率.
解（1）設x表示5次獨立試驗中a發生的次數，則x~6（5，0.3）
.(2) 令y表示7次獨立試驗中a發生的次數，則y~b（7，0.3）
.13.進行某種試驗，成功的概率為，失敗的概率為.以x表示試驗首次成功所需試驗的次數，試寫出x的分布律，並計算x取偶數的概率.
解 .
14.設隨機變數x的分布律為
求e（x），e（x2），e（2x+3）.
解 (1)
(2)(3).
15.設隨機變數x的概率密度為
f（x）=
求e（x），d（x）.
解故（二）提高題
1.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？
解 p=.
2.對乙個五人學習小組考慮生日問題：
（1）求五個人的生日都在星期日的概率； （2）求五個人的生日都不在星期日的概率；
（3）求五個人的生日不都在星期日的概率.
解 (1)設a1=，基本事件總數為75，有利事件僅1個，故
p（a1）==（）5 （亦可用獨立性求解，下同）
(2)設a2=，有利事件數為65，故
p（a2）==()5
(3)設a3=
p（a3）=1 p(a1)=1 ()5
3.甲、乙兩個籃球運動員，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進球數相等的概率.
解設ai=，i=0,1,2,3,bi=,i=0,1,2,3,則
=0.32076.
4.從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩隻鞋子配成一雙的概率.
解.5.按以往概率論考試結果分析，努力學習的學生有90%的可能考試及格，不努力學習的學生有90%的可能考試不及格.據調查，學生中有80%的人是努力學習的，試問：
（1）考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？
（2）考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？
解設a=，則=.由題意知p（a）=0.8，p（）=0.2，又設b=.由題意知p（b|a）=0.9，p（|）=0.9，故由貝葉斯公式知
(1)即考試及格的學生中不努力學習的學生僅佔2.702%
(2)即考試不及格的學生中努力學習的學生佔30.77%.
6.證明：若p（a｜b）=p(a｜)，則a，b相互獨立.
證即亦即
因此故a與b相互獨立.
7.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設擊中的概率分別是0.4,0.
5,0.7，若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.
6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.
解設a=，bi=，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7
=0.458.
8.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數分別為1，2，3的概率.
解設=,i=1,2,3.
將3個球隨機放入4個杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個數為1時，每個杯中最多放一球，故
而杯中球的最大個數為3，即三個球全放入乙個杯中，故
因此或 .
9.設兩兩相互獨立的三事件，a，b和c滿足條件：
abc=，p(a)=p(b)=p(c)< 1/2，且p（a∪b∪c）=9/16，求p（a）.
解由故或,按題設p（a）<,故p（a）=.
10.設10件產品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
解設a=，b=
.11.已知100個產品中有10個次品，求任意取出的5個產品中的次品數的數學期望、方差.
解設任取出的5個產品中的次品數為x，則x的分布律為
故 .
12.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：
（1）兩人投中次數相等的概率；
（2）甲比乙投中次數多的概率.
解分別令x、y表示甲、乙投中次數，則x~b（3，0.6）,y~b(3,0.7)
(1)(2)13.已知在五重貝努里試驗中成功的次數x滿足p=p，求概率p.
解設在每次試驗中成功的概率為p，則
故所以 .
14.設隨機變數x的分布律為
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