第13講古典與幾何事件的概率
一．學習目標：
1．理解古典概型及其概率計算公式．
2.會計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率.
3了解幾何概型的意義．了解日常生活中的幾何概型
二．重點難點
1古典概型的概率求法是考查重點，多與排列組合知識交匯命題，著重考查學生分析問題、解決問題的能力．
2．加強與統計相關的綜合題的訓練，注重理解、分析、邏輯推理能力的提公升．
三．知識梳理：
1．基本事件的特點
(1)任何兩個基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個．
(2)每個基本事件出現的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
p(a)＝.
4．幾何概型
事件a理解為區域ω的某一子區域a，a的概率只與子區域a的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與a的位置和形狀無關．滿足以上條件的試驗稱為幾何概型．
5．幾何概型中，事件a的概率計算公式
p(a)＝.
6．要切實理解並掌握幾何概型試驗的兩個基本特點
(1)無限性：在一次試驗中，可能出現的結果有無限多個；
(2)等可能性：每個結果的發生具有等可能性．
4.一條規律
從集合的角度去看待概率，在一次試驗中，等可能出現的全部結果組成乙個集合i，基本事件的個數n就是集合i的元素個數，事件a是集合i的乙個包含m個元素的子集．故p(a)＝＝.，對於幾何概型的概率公式中的「測度」要有正確的認識，它只與大小有關，而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握「測度」為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法．
,5.三種方法：古典概型中基本事件的探求方法：
(1)列舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一枚舉出的．
(2)樹狀圖法：適合於較為複雜的問題中的基本事件的探
求，注意在確定基本事件時(x，y)可以看成是有序的．如(1,2)與(2,1)不同．有時也可以看成是無序的．如(1,2)(2,1)相同．
(3) 排列組合法：在求一些較複雜的基本事件的個數時，可利用排列或組合的知識.
6.兩種型別
(1)線型幾何概型：當基本事件只受乙個連續的變數控制時．
(2)面型幾何概型：當基本事件受兩個連續的變數控制時，一般是把兩個變數分別作為乙個點的橫座標和縱座標，這樣基本事件就構成了平面上的乙個區域，即可借助平面區域解決．
7.古典概型與幾何概型的異同點
（1）幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型，兩者的共同點是基本事件是等可能的，不同點是基本事件數乙個是有限的，乙個是無限的，基本事件可以抽象為點．對於幾何概型，這些點儘管是無限的，但它們所佔據的區域是有限的，根據等可能性，這個點落在區域的概率與該區域的幾何度量成正比，而與該區域的位置和形狀無關．
（2）．解決幾何概型的關鍵是準確理解問題的「測度」．幾何概型問題易錯的根本原因是找不准「測度」．
四．典例剖析：
題型一古典概率的概念與計算
例1 下列概率模型中，是古典概型的有( )
①從區間[1,10]內任意取出乙個數，求取到1的概率；
②從1～10中任意取出乙個整數，求取到1的概率；
③向乙個正方形abcd內投擲一點p，求p恰好與a點重合的概率；
④向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
例2．（1）（2023年高考安徽（文））若某公司從五位大學畢業生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人,這五人被錄用的機會均等,則甲或乙被錄用的概率為
a． b． c． d．
（2）（2023年高考上海卷（理））盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個球,從中任意取出兩個,則這兩個球的編號之積為偶數的概率是結果用最簡分數表示)
（3）（2023年普通高等學校招生全國統一招生考試江蘇卷）現在某類病毒記作,其中正整數, (,)可以任意選取,則都取到奇數的概率為
課堂練習1：（1）（北京市石景山區2013屆高三一模數學理試題）將一顆骰子擲兩次,觀察出現的點數,並記第一次出現的點數為m,第二次出現的點數為n,向量=(m,n),
=(3,6),則向量與共線的概率為（ ）
a． b． c． d．
（2）（2023年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷）某車間共有名工人,隨機抽取名,他們某日加工零件個數的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數,葉為個位數.
(ⅰ) 根據莖葉圖計算樣本均值;(ⅱ) 日加工零件個數大於樣本均值的工人為優秀工人,根據莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優秀工人;
(ⅲ) 從該車間名工人中,任取人,求恰有名優秀工人的概率.
*（3）（北京市西城區2013屆高三上學期期末考試數學理科試題）將正整數隨機分成兩組，使得每組至少有乙個數，則兩組中各數之和相等的概率是 （ ）
a． b． c． d．
題型二有放回與不放回抽取概率
例3 從含有兩件**a1，a2和一件次品b1的三件產品中，每次任取一件，每次取出後不放回，連續取兩次，求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率。
課堂小結：利用古典概型的計算公式時應注意兩點：（1）所有的基本事件必須是互斥的；（2）m為事件a所包含的基本事件數，求m值時，要做到不重不漏。
課堂練習2：現有一批產品共有10件，其中8件為**，2件為次品：
（1）如果從中取出一件，然後放回，再取一件，求連續3次取出的都是**的概率；
（2）如果從中一次取3件，求3件都是**的概率。
點評：關於不放回抽樣，計算基本事件個數時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導致錯誤。
題型三與長度有關的幾何概型
例4.（1）（2023年高考湖北卷（文））在區間上隨機地取乙個數x,若x滿足的概率為,則
（2）（2023年高考山東卷理科） 在區間[-1，1]上隨機取乙個數x，的值介於0到之間的概率為（ ）
abcd.
（3）（2023年高考福建文）點a為周長等於3的圓周上的乙個定點．若在該圓周上隨機取一點b，則劣弧的長度小於1的概率為________．
課堂小結：將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣，而乙個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．
課堂練習3：（1）若在區間[－5,5]內隨機取出乙個數a，則1∈的概率為________．
（2） 乙隻螞蟻在三邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為________．
題型四與角度有關的幾何概型
例5 如圖，四邊形abcd為矩形，ab＝，bc＝1，以a為圓心，1為半徑作四分之
乙個圓弧de，在∠dab內任作射線ap，求射線ap與線段bc有公共點的概率．
課堂小結：幾何概型的關鍵是選擇「測度」，如本例以角度為「測度」．因為射線ad落在∠dab內的任意位置是等可能的，所以選擇「角度」為「測度」是解決本題的關鍵．
課堂練習4：如圖所示，在△abc中，∠b＝60°，∠c＝45°，高ad＝，在∠bac內作射線:am交bc於點m，求bm<1的概率．
課堂小結：解答本題時，要特別注意「在∠bac內作射線am交bc於點m」這句話，由此確定測度是角度．如果把這句話改為「**段bc上找一點m」，則問題的情境立刻發生改變，相應的測度應改為線段的長度，所求概率為p(n)＝＝＝.
題型五與面積有關的幾何概型an
例6：（1）（2023年高考四川卷（理））節日裡某家前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,若接通電後的4秒內任一時刻等可能發生,然後每串彩燈在內4秒為間隔閃亮,那麼這兩串彩燈同時通電後,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是 （ ）
a． b． c． d．
（2）(2023年高考北京卷文科3)設不等式組，表示平面區域為d，在區域d內隨機取乙個點，則此點到座標原點的距離大於2的概率是（ ）
（a） （b） （c） （d）
課堂小結：幾何概型的關鍵在於構造出隨機事件a所對應的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機事件的概率，根據實際情況，合理設定引數，建立適當的座標系，在此基礎上，將試驗的每乙個結果一一對應於座標系的點，便可構造出度量區域．
課堂練習5：(2023年高考陝西卷理科)右圖是用模擬方法估計圓周率值的:程式框圖，表示估計結果，則圖中空白框內應填入（ ）
（ab）
（cd）
題型六兩種概型的綜合運用
例7（成都樹德中學高2014屆高三上學期期中）設有關於x的一元二次方程．(1)若a是從0，1，2，3四個數中任取的乙個數，b是從0，1，2三個數中任取的乙個數，求上述方程有實根的概率；
(2)若a是從區間[0，3]任取的乙個數，b是從區間[0，2]任取的乙個數，求上述方程有實根的概率．
課堂小結：這題屬於古典概型與幾何概型的乙個典型的題目，融合了函式的零點知識(一元二次方程根的分布問題)．
課堂練習6：已知關於x的二次函式f(x)＝ax2－2bx＋8.
(1)設集合p＝和q＝，分別從集合p和q中隨機取乙個數作為a和b，求函式y＝f(x)在區間(－∞，2]上有零點且是減函式的概率；
(2)若a是從區間[1,3]任取的乙個數，b是從區間[2,5]任取的乙個數，求函式y＝f(x)在區間(－∞，2]上有零點且是減函式的概率．
五、高考鏈結(家庭作業)
1.（2023年高考江西卷（文））集合a=,b=,從a,b中各取任意乙個數,則這兩數之和等於4的概率是 （ ）
a． b． c． d．
2.（2023年高考課標ⅰ卷（文））從中任取個不同的數,則取出的個數之差的絕對值為的概率是 （ ）
a． b． c． d．
空間向量與立體幾何測試卷 高二理科
姓名 班別 一 選擇題 1 在下列命題中 若 共線，則 所在的直線平行 若 所在的直線是異面直線，則 一定不共面 若 三向量兩兩共面，則 三向量一定也共面 已知三向量 則空間任意乙個向量總可以唯一表示為 其中正確命題的個數為 a 0b 1 c 2d 3 2 在長方體中，下列關於的表達中錯誤的乙個是 ...
高二政治新課標教材《文化與生活》第六課第
第一課時 源遠流長的中華文化 教學設計 源遠流長的中華文化 浦南中學陳雨梅 一 教學內容 源遠流長的中華文化 是人教版高中思想政治必修 3 文化與生活 第三單元第六課 我們的中華文化 第一節的內容。本課時學習的主要內容有 中華文化源遠流長的主要見證 原因是文字 史書典籍及中華文化的包容性 即求同存異...
第二章合金的相結構與二元合金相圖第1 3節
由於純金屬的機械效能比較低，很難滿足機械製造業對材料效能的要求，尤其是一些特殊效能如高強度 耐熱 耐蝕 導磁 低膨脹等的要求，加上它冶煉困難，昂貴，所以在工業生產中廣泛使用的金屬材料主要是合金。合金的效能比純金屬的優異，主要是因為合金的結構與組織與純金屬不同，而合金的組織是合金結晶後得到的，合金相圖...