暑期專題輔導材料三
複習（函式）
一、 要點透視
函式是高中數學最重要的內容之一，它內涵豐富，不僅其自身涉及到較多的思想方法，而且運用函式去分析與解決其他數學問題也是歷來高考熱點之一。函式思想是解決數學問題的重要教學思想之一，它是一根主線，貫穿整個高中數學的全過程。
主要內容包括：對映、函式、反函式、函式的奇偶性、單調性（週期性）、幾個基本初等函式—— 一次函式、二次函式、指數函式、對數函式以及它們的圖象與性質——定義域、值域、奇偶性、單調性、圖象的對稱性等。
數形結合思想是本章的最基本的數學思想，另外，分類討論思想、化歸思想等也是本章的基本思想。
二、 典型例題解析
例1．已知集合，。其中，，若，，對映使b中元素和a中元素對應。求和的值。
解： a中元素對應b中元素，中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10。
或又無解，而由解得，
那麼的象是，故
綜上所述：
例2．判斷下列各題中，函式與是不是同一函式？說明理由。
①，；②，；
③，；④，；
⑤，；⑥， 解：①的定義域是，而的定義域是r，與的定義域不同，與是兩個不同的函式。
②與的定義域都是r，又，即與的對應法則邊相同，所以與是相同函式。
③由於，，它們對應法則不同，所以與是不同函式。
④⑥是不同函式，的定義域是r，而的定義域是
⑤是相同函式，與的定義域都，又，所以它們的對應法則也相同。
說明：定義域、值域、對應法則是函式的三大要素，定義域與對應法則確定則值域也隨而定，故兩個函式是相同函式的充要條件是它們的定義域與對應法則（在本質上）相同。
例3．求下列函式的定義域①②
③解：①由結合右圖：
故原不等式的解集是
②由或或
解之得：或或或
③由有，
當時，當時，，則與同正或同負，
故定義域為。
說明：求由函式解析規定的定義域，主要考慮以下幾個因素①分式的分母不為0；②偶次根式被開方式大於等於0；③對數真數大於0，底數大於0且不等於1等。
例4．①已知函式定義域為r，則的取值範圍是
②已知函式的定義域是，則函式的定義域是
③若函式定義域是，則函式的定義域是
④函式定義域是，則函式定義域是
解：①由，則當時，顯然；當時，要使，對任意恆成立，當且僅當即
綜上所述：的範圍是
②由，則，即函式的定義域是
③由的定義域是，則，的定義域是
④由得，故的定義域是
例5．函式的定義域是r，求實數m的取值範圍。
解：由對恆成立，即對任意恆成立。
而（當且僅當時取「」） 的取值範圍是
說明：對於恆成立問題，一般地，若，恆成立，的取值範圍是；若，恆成立，則的取值範圍是，。
例6．求下列函式的值域①②
③④解：①由，故的值域是
②令，則
結合二次函式的圖象得出函式值域是y
③由8圖象如右3 0 5x
故的值域是
④ 函式的定義域是r。
由有當時，無解，
當時，即
綜上原函式的值域是。
例7．①是r上奇函式，解關於的不等式
②函式的定義域為r，對任意，，都有，且時，，。求在上的最值。
解：①是奇函式，對任意，即，
故設，則 由於，
故在r上是單調增函式，其值域為
又由由即
故的解集是
說明：本題在求值也可由直接求出，更加便捷。另外在解時，也可如下處理：節r上單調增，由則即
又的解集是
②由於對任意、，都有
又是奇函式。
又設即即
是r上單調減函式 ，
而， 例8．設，且，如果的定義域為，求的取值範圍。
解：由題意，得的解集為，即在上恆成立。
令，是減函式
又， 得的取值範圍為當時，取最大值，故
說明：轉化為恆成立問題，再求的最大值——利用單調性
例9．對的哪些值，函式的值域包含？
解：當時，若，則無解；若，則總有解。
故。當時，則方程，為使方程對有解，則
對恆成立。
設，，則在上是兩個減函式的和，也是減函式，故當時，對總成立，方程總有解。
綜上所述，當且時，函式的值域包含
例10．已知，試證明的圖象上不存在兩點a、b，使直線ab恰好與y軸垂直。
解：由得，故函式的定義域是
設圖象上存在不同兩點，，且，則
，，，，
，故函式在上為減函式，則垂直於y軸的直線與的圖象至多有乙個交點。所以，函式圖象上不存在兩點a、b，使直線ab與y軸垂直。
說明：問題的實質是證明函式具有某種單調性。
例11．已知在上為單調函式，求的取值範圍。
解：在區間上任取、，則
要使在上單調增，即當時，要，只要
恆成立，由，應有，但條件，故與題設矛盾，捨去。
同理，要使在上是減函式，即恆成立，即在恆成立，又由可得
綜上所述，時函式在上為單調減函式。
說明：本題針對函式單調性，作逆向分析，將問題轉化為恆成立問題，對函式單調性的概念考查深入。
例12．①解方程；②設、、是三角形的三邊長，
求證：解：①原方程即為
建構函式，易知函式在r上是增函式，於是原方程化為
由是單調增函式，故
原方程的解是
②設，則，在上是增函式，又
即又說明：本題是函式單調性的應用。
例13．動點p從邊長為1的正方形abcd的頂點a出發順次經過b、c、d，再回到a，設x表示點p的行程，y表示pa的長，求y關於x的函式式
解：如圖，當點p在ab邊上運動點，；
當點p在bc邊上運動時，
p當點p在cd邊上運動時，；
當點p在da邊上運動時
故所求函式式為
d p cpab
例14．已知是定義在上偶函式，當時是減函式，如果不等式恆成立，求實數的取值範圍。
解：是偶函式不等式等價於
即解之得：
說明：本題充分利用偶函式的性質：，簡化分解過程中繁瑣的討論。
例15．若函式的圖象與其反函式的圖象完全重合，其中實數、、、滿足：
，則此函式應具有怎樣的解析式？
解：由得，
函式的反函式
由題設的圖象與的圖象完全重合可知，對定義域內的一切實數都有
即即當，，時；當，，時，
當，時，
因此函式具有以下三種形式：，，
例16．已知二次函式滿足，，且方程有等根。
①求、、；
②是否存在實數、，使得函式在定義域內值域為。如果存在，求出、的值，如果不存在，請說明理由。
解：① 的圖象關於直線對稱，即…①
…② 即有等根，
③ 由①②③三個式得，，
②由①得 ，
在上是單調增函式
即 、是方程的兩個不等根。
解得答：存在，滿足條件
鞏固練習
1．已知對映，其中，b中的元素都是a中元素在對映下的象，且對任意的，在b中和它對應的元素是，則b中元素的個數是
a．4b．5c．6d．7
2．設集合a和b都是，對映把集合a中的元素n對映到b中元素是在對映f下，象20的原象是
a．2b．3c．4d．5
3．從集合到集合的對映共有個
a．2b．3c．4d．5
4．下列四組函式中，表示同乙個函式的是
ab．，
cd．，
5．下列圖象中，不可能是函式的圖象是
yyyy
1 x0x0 x0x
abcd
6．函式的定義域是
ab．cd．7．如果函式滿足，則
a．3b．—3c．3或—3d．5或—3
8．若函式的定義域為，則函式的定義域是
abcd．
9．已知函式，那麼，當時
abcd．
10．函式滿足，且，，則
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