學生心目中的大學排名
本文以大學教學質量和學生心中比較關注的指標為基礎，建立了四個模型進行分析，然後分析了各排行榜之間的特點。對於問題一建立了基於主成分分析的降維模型和基於模糊熵值定權的綜合評價模型；對於問題二通過python編寫網路爬蟲獲取到211院校學生所關注的9項指標資料，建立了層次分析模型和網路層次分析模型。
模型一：由於邱均平所給統計資料中本科和研究生院校分別有45個和48個專業，為了降低處理複雜度同時有保留較高資訊，我們建立了基於主成分分析的降維模型。該模型充分考慮了各專業在所有專業中的重要性，同時也涵蓋了所給資料中的絕大部分資訊。
這樣就保證了資料資訊量的充分性，同時增加了資料處理的效率。
模型二：通過模型一的降維，本科和研究生指標數量分別降到8個和6個，由於資料經過線性組合，所以傳統的利用專家賦權已不再適用，因此我們建立基於模糊熵值定權的綜合評價模型，將包含資訊高的指標設定較高權值，我們利用模糊數學對資料進行模糊處理，然後利用熵值法確定權值，最後對教學質量給出客觀公正的進行綜合評價。
模型三：首先根據當今大學生關注熱點我們總結了4個主要指標，每個指標下包含子指標，經過分析指標間存在明顯的層次模型，因此我們建立層次分析模型，將4個主要指標作為準則層一，將其他子指標作為準則層二，這樣建立了乙個4層的層次分析模型；最後通過yaahp軟體對模型進行求解並分析，得到了學生心目中的大學排名。
模型四：由於層次分析法只考慮上層元素對下層元素的支配作用，而沒考慮到下層元素對上層元素的反饋作用，因此我們對模型三進行修正，建立了網路層次分析模型，將指標的層次結構修正成網路結構，然後利用superdecisions軟體建立指標間的網路結構，同時確定判斷矩陣，然後對模型進行求解分析，最後得到客觀較優的學生心目中的大學排名。
關鍵字：主成分分析；模糊綜合評價；熵值定權；層次分析；網路層次分析
目錄摘要 2
一、 問題重述 3
二、 模型假設 4
三、 符號說明 4
四、 模型建立與求解 4
4.1問題一：教學質量綜合評價模型 5
4.1.1基於主成分分析的降維模型 5
4.1.2基於模糊熵值定權綜合評價模型 11
4.1.3結果分析 13
4.2問題二：學生心目中的大學綜合排名模型 15
4.2.1基於層次分析模型 15
4.2.2基於網路層次分析模型 19
4.2.3結果分析 24
五、 模型評價 24
5.1 各榜指標剖析 24
5.2 高考建議 25
參考文獻 26
六、 附錄 27
一、 問題重述
隨著高校、**、家長和學生對大學排名的關注越來越多，大學排名的影響力也越來越大。大學排名產生的初衷是評價高校的辦學質量、彰顯高校的辦學影響力，而如今，大學排名已經成為衡量高校聲譽的主要工具之一。
目前國內最具影響的大學排行榜一般認為有三個：武書連主持制定的《中國大學評價》，深圳網大公司發布中國大學排行榜和中國校友會的大學評價課題組發布中國大學排行榜。他們各有側重點，在一定程度上反映了當今中國大學的排名情況。
但是簡單地將各項指標相加而進行簡單的綜合排名對於大學高等教育是不利的，一些專業性很強的學校被排在靠後的位置，他們為了排名甚至會放棄自己的優勢學科，這對於高等教育的發展是不利的。
本文首先根據邱均平課題組給出的各專業「教學質量排行榜」，建立模型，給出在教學質量上各學校的排名。然後就廣大學生心中比較關注的的指標如教學質量、就業能力、社會關注度、世界知名度等給出「學生心目中的大學排行榜」，最後比較各排行榜，對於大學排行榜的積極意義進行評價並對於高中生填報志願給出意見。
二、 模型假設
1. 問題一中邱均平給出的專業排名真實可靠且可以反映教學質量優劣；
2．問題一中博士點和重點學科可以反映出學校教師的教學水平；
3. 各個高校之間存在客觀的真實實力，這是任何一種排名演算法的基礎；
4. 問題二中wrwu的資料真實可靠，不存在網路作弊行為；
5. 問題二中新浪教育和搜狐教育關注度統計資料真實可靠；
6. 問題二中搜狐教育統計世界500強和企事業就業資料可靠；
三、 符號說明
注：本文中的所有符號在模型建立時都有詳細說明。
四、 模型建立與求解
問題一中邱均平所給資料為各專業星級排名、博士點分專業數量和重點學科分專業數量，所以根據現有資料，通過matlab提取將教學質量分成四個部分：
（1）本科星級指標矩陣
（2）研究生星級指標矩陣
（3）各高校博士點總量
（4）各高校重點學科總量
本文對（1）和（2）矩陣進行建模，首先建立主成分分析模型來降低指標矩陣的維數，然後建立基於資訊熵的模糊綜合評價模型得到乙個初步的綜合評價指標，然後結合（3）（4）指標重新執行基於資訊熵的模糊綜合評價模型，得到最終的教學質量綜合評價模型。
1 模型分析與建立
在對某事物進行評價時，為了全面準確的反映出事物的特徵，往往要考慮與其相關的多個指標。這樣就產生如下問題：一方面為了避免遺漏重要的資訊而考慮盡可能多的指標，而另一方面隨著考慮指標的增多問題的複雜性也隨之增加，同時會產生資訊的重疊。
問題一中的資料明顯存在這種缺點，因此，為了得到較多資訊量的同時，減少涉及的變數數，本文採用主成分分析方法。
我們將學校當作樣本設為個（本問題中即本科和研究生學校數，分別為640和408），專業指標當作變數設為個（本問題中即本科和研究生專業數，分別為45和48），則指標矩陣記為：
（1）計算指標變數的相關性矩陣
由於資料屬於樣本資料，總體協方差矩陣與相關矩陣是未知的，於是通過樣本資料來估計，記
， s為樣本協方差矩陣，作為總體協方差矩陣的無偏估計，是樣本相關矩陣，為總體相關矩陣的估計。
（2）計算特徵值和特徵向量
用相關係數矩陣進行主成分分析，計算的特徵值和特徵向量和，其中
（3）確定主成分個數
首先計算第個主成分的資訊貢獻率，，然後計算前個主成分的累計資訊貢獻率，，當前個主成分的累計資訊貢獻率達到乙個指標，記，我們則認為前個公共因子可以反映原指標大部分資訊，這樣就可以達到降維的效果。
（4）計算主成分的係數矩陣
根據因子載荷向量可以計算第個主成分的係數，，從而得到主成分的係數矩陣如下
（5）基於統計**填充演算法
由於原始指標矩陣中存在很多的缺失資料（即為空值的情況，即學校未開設專業），如果單純的將其賦值為零會影響評價的公平性，所以我們採用統計**的演算法對其進行填充，對於中空值的資料，假設填充，則使滿足如下條件
其中為中值不為空的項，即，即填充的值在列中佔的比例等於行中所有非空值資料在其列中佔的比例的均值。我們將填充後的指標矩陣記為。
（6）計算主成分分析降維後的指標矩陣
根據（4）得到個主成分，利用空間對映我們將原始的個指標對映到，從而降低了維數，降維後的指標矩陣為
2 模型求解與結果分析
（1）本科星級指標的模型求解
首先我們對邱均平所給資料中本科分專業星級排名資料進行處理，將其轉化為本科星級指標矩陣，其中將學校作為樣本，專業作為變數，則表示第個學校的第個專業的星級指標值，這樣就得到乙個的矩陣，即本科星級指標矩陣。
然後利用spss對指標矩陣進行主成分分析求解，得出指標矩陣的相關係數矩陣（見附報表一）、相關係數矩陣的特徵值走勢（見圖 1）、主成分提取分析部分表（見圖表 2）和部分因子載荷矩陣（見圖表 3）
圖 1圖表 2
圖表 3
由圖中可以看出主成分的特徵值前4個迅速下降後面趨於平穩下降，說明前4個主成分所包含資訊量已經足夠充分，但是為了保留更多的資訊量我們採用特徵根大於1的主成分，即前8個主成分，其中包含60%的資訊，可以滿足要求，然後生成因子載荷矩陣，再通過matlab程式設計得出主成分係數矩陣。
最後我們利用matlab程式設計實現基於統計**填充演算法（見附錄），對本科星級矩陣進行填充得到矩陣，然後將其與主成分係數矩陣相乘得到最終的本科降維指標矩陣
（2）研究生星級指標的模型求解
首先同本節（1）中對本科星級矩陣的處理方法，我們對研究生分專業星級排名資料進行處理，得到乙個的矩陣，即研究生星級指標矩陣。
然後利用spss對指標矩陣進行主成分分析求解，得出指標矩陣的相關係數矩陣（見附報表二）、相關係數矩陣的特徵值走勢圖（見圖 4）、主成分提取分析部分表（見圖表 5）和部分因子載荷矩陣（見圖表 6）。
由圖4可以看出主成分的特徵值前5個迅速下降後面趨於平穩下降，說明前5個主成分所包含資訊量已經足夠充分，但是為了保留更多的資訊量我們對研究生資料同樣採用特徵根大於1的主成分，即前6個主成分，其中包含70.8%的資訊，可以滿足要求，然後生成因子載荷矩陣，再通過matlab程式設計得出主成分係數矩陣。
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