知識梳理
一、對映
一般地，設a，b是兩個集合，如果按照某種對應關係f，對於集合a中的任何乙個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，那麼這樣的對應叫做集合a到集合b的對映，記作f:a→b
二、函式
函式定義：設a、b是非空數集,如果按某個確定的對應關係f,使對於集合a中的乙個數x,在集合b中都有確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:a→b為從集合a到集合b的乙個函式，記作y=f(x),x∈a,
其中x叫做自變數.x的取值範圍a叫做函式的定義域；
與x的值相對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域.
由對映和函式的定義可知，函式是一類特殊的對映，它要求a、b非空且皆為數集.
三要素： 定義域、值域、對應關係
函式的表示方法: 解析法、列表法、圖象法
考點1、對映的概念、象、原象
1．設f:a→b是集合a到集合b的對映，則正確的是
a．a中每一元素在b中必有象
b．b中每一元素在a中必有原象
c．b中每一元素在a中的原象是唯一的
d．a中的不同元素的象必不同
2．下列四個對應中，是對映的是
a.(3)(4b.(1)(2c.(2)(3d.(1)(4)
3．如果(x,y)在對映f下的象是(x+y,x-y)，那麼(1,2)在對映下的原象是
a.（3，1） b.（） c. （） d.（-1，3）
考點2、函式的概念
判斷下列各組函式中，是否表示同一函式
g(x)=
t2-t-1 , g(x)= -1
考點3、求函式解析式
例1．求函式解析式
換元法與配湊法
（1）已知f(2x+1)=4x+5,則f(x) （2）已知，求；
待定係數法：
（3）已知y=f(x)是一次函式，且有f[f(x)]=9x+8,求f(x)解析式。
方程組法：
（4）已知滿足，求
變式訓練：
1．已知，求 2.若f(x－, 求f(x)
3.求一次函式f(x)，使f[f(x)]=9x+14.已知，求
考點4、知函式解析式求值
1． 已知函式f(x)=3x2-5x+2，求f(3)，f(-)，f(a), f(a+1)
2．若則值為
a. 2 b. 8 c. d.
3．已知函式則
4．已知f(2x)=，則f(1)的值是
a.2 b． c．1 d．
考點5、求定義域
1．求下列函式的定義域：
(12)f(x)=
(3) f(x4)
（5）函式y=的定義域為
2． f(x)的定義域是[-1，1]，則f(x+1)的定義域是
3．已知的定義域為，則的定義域為的定義域為
考點6、值域（最值）
例1．求下列函式的值域：
（1）； （2） （形如）
（3）（判別式法）； （4）（圖象法）；
（5）（換元法6）（換元法）；
1．求下列函式的值域
（14）
（25）
（3）3．函式在區間上的值域為則m值為
a. bcd.
4．已知函式
若函式的定義域是r，求實數a的取值範圍
若函式的值域是r，求實數a的取值範圍
函式的基本性質知識點
一、函式的奇偶性
1．定義: 設y=f(x)，x∈a，如果對於任意∈a，都有，則稱y=f(x)為偶函式。
如果對於任意∈a，都有，則稱y=f(x)為奇函式。
2.性質：
①y=f(x)是偶函式y=f(x)的圖象關於軸對稱, y=f(x)是奇函式y=f(x)的圖象關於原點對稱,
②若函式f(x)的定義域關於原點對稱，則f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函式的定義域d1 ，d2，d1∩d2要關於原點對稱]
3．奇偶性的判斷
①看定義域是否關於原點對稱 ②看f(x)與f(-x)的關係
二、函式的週期性：
（定義）若是週期函式，t是它的乙個週期。
說明：nt也是的週期
（推廣）若，則是週期函式，是它的乙個週期
三、函式的單調性：
增（減）函式：如果對於屬於定義域內某個區間上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1f(x2)（或 f(x1) 單調性和單調區間：如果函式y=f(x)在某個區間上是增函式或減函式，那麼就說函式y=f(x)在這一區間上具有單調性，這一區間叫做函式y=f(x)的單調區間。
證明函式單調性的方法
a)取值；b)作差；c)定正負；d)下結論
求復合函式單調性一般步驟
a) 求復合函式y=f[g(x)]的定義域
b) 找到內函式u=g(x)和外函式y=f(u)，並畫出它們的圖象
c) 根據u=g(x)和y=f(u)的單調性，確定y=f[g(x)]的單調區間
考點1：函式奇偶性判斷
1．判斷下列各函式的奇偶性：
（12）；
（3）； （4）
2． 設是r上的任意函式,則下列敘述正確的是
(a)是奇函式 (b)是奇函式
(c)是偶函式 (d)是偶函式
考點2：奇偶性和週期性性質的應用
1．（2023年江蘇卷）已知，函式為奇函式，則a
（a）0 （b）1 （c）－1 （d）±1
2．已知f(x)=x4+ax3+bx－8，且f(－2)=10，則f(2
3．若是偶函式,且當時, ,則的解集是
a. b. c. d.
4．已知週期為2的偶函式f(x)在區間[0，1]上是增函式，則的大小關係是
a． b．
c． d．
5．（2023年安徽卷）函式對於任意實數滿足條件，若則
考點3：函式單調性判斷（證明）
1．下列函式中，在(0,2)上是增函式的是
a．y=-x+1 bc．y=x2-4x+5 d．
2．下列函式中，在(0,+)上是增函式的是
a． b． c．yd．
3．下列函式中，在其定義域內既是奇函式又是減函式的是
a. b. c. d.
4．函式y=(2-m)x-1在上是減函式，則m的取值範圍是
a．(-,0) b．(0c．(-,2d．(2,+)
5．如果函式在區間上是減函式，則a的取值範圍是______
6．已知函式在[0，2]上是減函式，則a的範圍是
a．(0,1b．(1c．(,1d．(1,)
7．證明函式的單調性
證明函式f(x)=3x+2在r上是增函式 。 證明函式f(x)=x+在上是減函式
8．討論函式在區間[0，+]上的單調性
考點4：求函式單調區間
1．求下列函式的單調區間
反函式知識梳理
定義：函式y=f(x)(x∈a)中，設它值域為c。根據x,y的關係，把x用y表示出來，得到x=φ(y)。
如果對於y在c中的任何乙個值， 通過x=φ(y)，x在a中都有唯一的值和它對應，那麼x=φ(y)就表示y是自變數，x是y的的函式。這樣的函式x=φ(y) (y∈c)叫做函y=f(x)(x∈a)的反函式，記作x=f-1(y)，習慣上表示為y=f-1(x)。
求反函式的步驟：
a) f由y=f(x)解出x=φ(y反解
b) 交換x,y得f-1(x)= φ(x互換
c) 根據y=f(x)的值域，求出y=f-1(x)的定義域 ……標明定義域
原函式與反函式的關係：
a)原函式的定義域是反函式的值域，原函式的值域是反函式的定義域；
b)互為反函式的兩個函式有相同的單調性。
互為反函式的圖象間的關係：
互為反函式的圖象關於直線y=x對稱。反之，
如果兩個函式的圖象關於直線y=x對稱，那麼這兩個函式互為反函式。
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