習題一1-1 ｜｜與有無不同?和有無不同? 和有無不同?其不同在**?試舉例說明．
解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；
（2）是速度的模，即.
只是速度在徑向上的分量.
∵有（式中叫做單位矢），則
式中就是速度徑向上的分量，
∴不同如題1-1圖所示
題1-1圖
(3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.
∵有表軌道節線方向單位矢），所以
式中就是加速度的切向分量.
(的運算較複雜，超出教材規定，故不予討論)
1-2 設質點的運動方程為=()，=()，在計算質點的速度和加速度時，有人先求出r＝，然後根據=，及＝而求得結果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結果，即
及=你認為兩種方法哪一種正確？為什麼？兩者差別何在？
解：後一種方法正確.因為速度與加速度都是向量，在平面直角座標系中，有，
故它們的模即為
而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作
其二，可能是將誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分。或者概括性地說，前一種方法只考慮了位矢在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。
1-3 一質點在平面上運動，運動方程為
=3+5, =2+3-4.
式中以 s計，,以m計．(1)以時間為變數，寫出質點位置向量的表示式；(2)求出=1 s 時刻和＝2s 時刻的位置向量，計算這1秒內質點的位移；(3)計算＝0 s時刻到＝4s時刻內的平均速度；(4)求出質點速度向量表示式，計算＝4 s 時質點的速度；(5)計算＝0s 到＝4s 內質點的平均加速度；(6)求出質點加速度向量的表示式，計算＝4s 時質點的加速度(請把位置向量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角座標系中的向量式)．
解：（1
(2)將,代入上式即有 (3
(4) 則(5
(6這說明該點只有方向的加速度，且為恒量。
1-4 在離水面高h公尺的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸s處，如題1-4圖所示．當人以(m·)的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大小．
圖1-4
解： 設人到船之間繩的長度為，此時繩與水面成角，由圖可知
將上式對時間求導，得
題1-4圖
根據速度的定義，並注意到,是隨減少的，即或
將再對求導，即得船的加速度
1-5 質點沿軸運動，其加速度和位置的關係為 ＝2+6，的單位為，的單位為 m. 質點在＝0處，速度為10,試求質點在任何座標處的速度值．
解分離變數：
兩邊積分得
由題知，時，,∴
1-6 已知一質點作直線運動，其加速度為 ＝4+3，開始運動時，＝5 m， =0，求該質點在＝10s 時的速度和位置．
解分離變數，得
積分，得
由題知，,,∴
故又因為
分離變數，
積分得由題知 ,,∴
故所以時1-7 一質點沿半徑為1 m 的圓周運動，運動方程為 =2+3，式中以弧度計，以秒計，求：(1) ＝2 s 時，質點的切向和法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成45°角時，其角位移是多少?
解 (1)時，
(2)當加速度方向與半徑成角時，有
即亦即則解得於是角位移為
1-8 質點沿半徑為的圓周按＝的規律運動，式中為質點離圓周上某點的弧長,，都是常量，求：(1)時刻質點的加速度；(2) 為何值時，加速度在數值上等於．
解：（1
則加速度與半徑的夾角為
(2)由題意應有
即∴當時，
1-9 半徑為的輪子，以勻速沿水平線向前滾動：(1)證明輪緣上任意點的運動方程為＝，＝，式中/是輪子滾動的角速度，當與水平線接觸的瞬間開始計時．此時所在的位置為原點，輪子前進方向為軸正方向；(2)求點速度和加速度的分量表示式．
解：依題意作出下圖，由圖可知
題1-9圖
(1)(2)1-10 以初速度＝20丟擲一小球，丟擲方向與水平面成幔60°的夾角，
求：(1)球軌道最高點的曲率半徑；(2)落地處的曲率半徑．
(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關係)
解：設小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示．
題1-10圖
(1)在最高點，
又(2)在落地點，,而
1-11 飛輪半徑為0.4 m，自靜止啟動，其角加速度為 β=0.2 rad·，求＝2s時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：當時，
則1-12 如題1-12圖，物體以相對的速度＝沿斜面滑動，為縱座標，開始時在斜面頂端高為處，物體以勻速向右運動，求物滑到地面時的速度．
解：當滑至斜面底時，，則,物運動過程中又受到的牽連運動影響，因此，對地的速度為
題1-12圖
1-13 一船以速率＝30km·h-1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1
沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何?
解：(1)大船看小艇，則有，依題意作速度向量圖如題1-13圖(a)
題1-13圖
由圖可知
方向北偏西
(2)小船看大船，則有，依題意作出速度向量圖如題1-13圖(b)，同上法，得
方向南偏東
1-14 當一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影後2 m的甲板上，篷高4 m 但當輪船停航時，甲板上乾濕兩部分的分界線卻在篷前3 m ，如雨滴的速度大小為8 m·s-1，求輪船的速率．
解： 依題意作出向量圖如題1-14所示．
題1-14圖
由圖中比例關係可知
習題二2-1 一細繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質量為的物體，另一邊穿在質量為的圓柱體的豎直細孔中，圓柱可沿繩子滑動．今看到繩子從圓柱細孔中加速上公升，柱體相對於繩子以勻加速度下滑，求，相對於地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長，滑輪的質量及輪與軸間的摩擦不計)．
解：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為，其對於則為牽連加速度，又知對繩子的相對加速度為，故對地加速度，由圖(b)可知，為
又因繩的質量不計，所以圓柱體受到的摩擦力在數值上等於繩的張力，由牛頓定律，有
聯立①、②、③式，得
討論 (1)若，則表示柱體與繩之間無相對滑動．
(2)若，則，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時, 均作自由落體運動．
題2-1圖
2-2 乙個質量為的質點，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運動，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質點的運動軌道．
解: 物體置於斜面上受到重力，斜面支援力.建立座標：取方向為軸，平行斜面與軸垂直方向為軸.如圖2-2.
題2-2圖
方向方向
時由①、②式消去，得
2-3 質量為16 kg 的質點在平面內運動，受一恒力作用，力的分量為＝6 n，＝-7 n，當＝0時，0，＝-2 m·s-1，＝0．求
當＝2 s 時質點的 (1)位矢；(2)速度．
解(1)
於是質點在時的速度
(2)2-4 質點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力(為常數)作用，=0時質點的速度為，證明(1) 時刻的速度為＝；(2) 由0到的時間內經過的距離為
＝()［1-］；(3)停止運動前經過的距離為；(4)證明當時速度減至的，式中m為質點的質量．
答: (1
分離變數，得即
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