數學建模一周**
**題目：購房貸款比較問題
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摘要:這是乙個關於銀行住房貸款償還問題的數學模型。本文根據已知利率，以及貸款金額，分別針對等額本息還款法和預付費還款法，我們建立線性方程數學模型，推導出還款總額，還款總利息，月均還款額的通用公式。
對於問題代入還款年限，即二十二年、二十五年，根據通用公式容易計算出二十二年及二十五年的兩種還款方式的月均還款額，以及還款總額，對比選擇最優還款方式。
通過模型的建立與求解得出：二十五年等額本息還清貸款，則還款總額為264198元，年均還款額為10567.92元；二十二年預付費還清貸款，則還款總額為236494.
24元，年均還款額為10749.74元。由此可知選擇預付費還款更划算。
此模型給出的公式和程式能適合固定任意年限情況下的相關計算，適用範圍較廣。此外，我們制定了柱狀圖，便於使用者直觀形象比較兩種還款方式，根據自己的收入情況選擇適合自己的還款方式。
關鍵詞：住房貸款，等額本息，預付費
一 、問題的重述
小李夫婦有向銀行等額本息還款法和向房產金融機構還款法兩種還款方式，小李夫婦準備向銀行貸款10萬元購房、有22年、25年還清，兩種還款方式，所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清；而預付費還款法（就是先付4000元還款法），即開始先付些然後每月償還貸款相同，直至期滿還清。現在我們需要幫助小李夫婦通過建立數學模型分析一下，就兩種還款方式，小李夫婦應選擇哪種還款方式比較划算，並通過數學模型解決以下問題：
（五）購房貸款的比較
小李夫婦曾經準備申請商業貸款10萬元用於購置住房，每月還款880.66元，25年還清.
房產商介紹的一家金融機構提出：貸款10萬元，每半月還款440.33元, 22年還清, 不過由於中介費手續費等原因，貸款時要預付4000元..
小李考慮，雖然預付費用不少，可是減少三年還款期意味著減少還款近3萬2千元，而每月多跑一趟，那不算什麼.這機構的條件似乎還是蠻優惠的.
因此我們可以假設出兩種方案
1.假如小李夫婦每月應向銀行還款的數目，25年到期後李先生總共要向銀行還款的數目。
2.假如李先生計畫22年還清貸款，李先生每月應向銀行還款數目，22年到期後，李先生總共要向銀行還款數目。
二、問題的分析
目前有兩種還款方式。等額本息還款法：每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清，容易作出預算。
還款初期利息佔每月供款的大部分，隨本金逐漸返，還供款中本金比重增加。等額本息還款法更適用於現期收入少，預期收入將穩定或增加的借款人，或預算清晰的人士和收入穩定的人士。而預付費款法：
一開始要先付費較多，而後半月都一樣的款額，直至期滿還清。借款人在開始還貸時，每月負擔比等額本息要重。但隨著時間推移，還款負擔便會減輕。
所以我們可知等額本金還款法適合目前收入較高的人群。
假設小李夫婦能夠支付這兩種不同的還款方式，我們需要幫助他建立等額本息和等額本金還款法的數學模型，以選擇最佳還款方式。
對於問題一和問題二模型差不多，分別建立兩種還款方式的模型，只需改變貸款年限即可解決問題。對於問題即根據問題
一、二建立的模型，反過來求解出月償還金額在滿足小於等於896.21元的前提下的月還款額和還款年限。
三、問題假設
為了使問題更加明了清晰，便於計算，同時便於擴充套件因此特作如下假設：
1.假設小李夫婦每月能夠按時支付房屋貸款所需的還款金額。
2.假設貸款年利率確定，無論還款期為多少年，在還款期間均為5.94%（設個假定值）保持不變。
3.假設銀行貸給小李夫婦的本金是在某個月的1號一次到位的，在本金到位後的下個月1號開始還錢。
四、符號的約定
a : 小李夫婦向銀行貸款的本金
b : 小李夫婦平均每期應還的本金
c : 小李夫婦應向銀行還款的總額
d : 小李夫婦的利息負擔總和
α: 小李夫婦向銀行貸款的月利率
β: 小李夫婦向銀行貸款的年利率
m :小李夫婦貸款期
n : 小李夫婦總的還款期數
根據我們的日常生活常識，我們可以得到下面的關係：
（1）c=b*m
（2）c=a*(1+β)
五、 模型的建立與求解
5. 1等額本息還款模型的求解
建立住房貸款問題的線性方程數學模型，得到差分方程，利用等比數列求和公式求出差分方程的解，匯出貸款期、利率與每期還款額的關係。
（1）題中貸款期在1年以上：
因為一年的年利率是β，那麼，平均到乙個月就是（β/12），也就是月利率α，
即有關係式：α=β/12
設月均還款總額是x （元）880.66
（i=1…n）是小李夫婦在第i期1號還款前還欠銀行的金額：880.66
(i=1…n) 是小李夫婦在第i期1 號還錢後欠銀行的金額. ：263317.34
根據上面的分析，有
第1期還款前欠銀行的金額：264198
第1期還款後欠銀行的金額：263317.34
……第i期還款前欠銀行的金額：264198-880.66*(i-1)
第i期還款後欠銀行的金額：264198-880.66*i
第n期還款前欠銀行的金額：264198-880.66*(n-1)
第n期還款後欠銀行的金額：264198-880.66*n
因為第n期還款後，小李夫婦欠銀行的金額就還清. 也就是說：
不欠銀行的錢，
即這就是年均還款總額的公式。 c/n
因此，小李夫婦總的還款總額就等於：264198
利息負擔總和等於：164198
利用以上公式可以分別計算出等額本息還款法25年和22年還清貸款的還款總額和年均還款額。
25年等額本息還清貸款則有：
還款總額c=880.66*12825= 264198，
年均還款額x=c/n=264198/（12*25）=10567.92
22年等額本息還清貸款則有：
還款總額：c=4000+440.33*2*12*22= 236494.24，
年均還款額x=c/n=236494.24 /(12*22)=10749.79
5.預付費還款模型的求解
小李夫婦除了上面的等額本息還款法外，還有另一種還款方法：預付還款法（遞減法）：每期還給金融機構相等的本金，但小李夫婦每月的利息負擔就會不同.
利息負擔應該是隨本金逐期遞減. 因此，我們就可得小李夫婦每月除付給銀行每期應付的本金外，還要付給金融機構沒還的本金的利息.
（1）1年期的貸款，銀行都要求小李夫婦實行到期一次還本付息，利隨本清. 因此，1年期的還款總額為：14567.92
而利息負擔總和為：4182.2
（2）題中貸款期在1年以上.
設李先生第i期應付的金額為 ( i = 1，2,3，…,n單位：元)
因此，李先生第一期應付的金額為 ：4440.66
第二期應付的金額為 ： 440.66
那麼，李先生第n期應付的金額為 ：440.66
累計應付的還款總額為 ：236494.24
利息負擔總和為 ：136494.24
利用以上公式可以分別計算出等額本金還款法25年和22年還清貸款的還款總額和年均還款額。
二十五年等額本金還清貸款則有：
還款總額 880.66*12*25= 264198；
年均還款額 =26498/25=10567.92
二十二年等額本金還清貸款則有：
還款總額 4000+880.66*22=2364994.24
年均還款額2364994.24 /22=10749.47
等額本息還款
貸款期限月利率總還款額月均還款額
二十五年 0.495% 265726.6 880.66
二十二年 0.495% 251754.9 896.21
預付費還款
貸款期限月利率總還款額總還款利息年均還款額
二十五年 0.495% 264198 58905 10567.92
二十二年 0.495% 236494.24 47025 10749.47
等額本息還款法還款初期利息佔每月供款的大部分，隨本金逐漸返，還供款中本金比重增加。如果小李夫婦現期收入少，預期收入將穩定或增加，預算清晰和收入穩定，則建議採用該還款方式，但預付費還款法存在開發商的信用問題。而等額本金還款法李先生在開始還貸時，每月負擔比等額本息要重，但隨著時間推移，還款負擔便會逐漸減輕。
如果他收入較高，則建議採用該方法還款。兩種還款方式相比之下，等額本金還款法比等額本息還款法要還更少的錢，但開頭的幾期或幾十期的負擔相對的會很重。李先生具體採用哪種還款方式還要根據他自身情況而定。
25年和22年等額本金還款每月還款額詳見表附錄一 。
5.3固定月還款額模型的求解
由以上5.1及5.2所建模型可以知道
1.採用等額本息還款方式可以知道
又因為李先生每月可以支付1500元，則x的值滿足小於等於1500即可，由此建立數學模型：x<=1500;解得n=218.48028 ；即需要18.
22023年方可還清貸款，考慮到現實生活問題分兩種情況：
（1）25年還清：年均還款額：10567.92 元，總還款額：264198元
（2）22年還清：年均還款額：10749.47元，總還款額：236494元
假如小李夫婦能夠採用其他方式使自己的每月可支付額比1500元多10元，則建議他選擇25年還清貸款。如果月支付額無法達到1510元，則只有選擇22年還清貸款，但比前者多出25074.76元。
2.採用預付費還款方式：由於該還款法中只有第乙個月需支付的費用最多，以後貸款利息減少，則只需滿足第一月支付金額小於等於1500元即可，因為：
，其中b=a/n,解方程 <=1500得到，當 =1500時n=390.21568，即需要22年方可還清貸款。年均還款額：
10749.74，總還款額：236494.
24元。
由以上建立的模型通過計算分析可以知道，小李夫婦若乙個月能支付880.66元，那麼他採用等額本息還款方式能在比較短的時間內還清，而且支付的總還款額相對較少。等額本息還款法不但還款金額比預付費還款法多而且還款時間長。
所以建議小李夫婦採取預付費還款法。
六、模型的優缺點與改進方向
1.模型的優點：
（1）採用的數學模型有成熟的理論基礎，，實用性較高和可信度較高。
（2）本文建立的模型計算簡便可用範圍很廣，推廣容易，同時擴充套件也較容易。
（3）本文建立的模型與實際緊密聯絡，考慮現實情況的多樣性，不僅滿足本身需要而且還能解決相近或相似的問題從而使模型更貼近實際，更實用。
（4）本文用數學工具，嚴密對模型求解，具有科學性。
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