學生：王盛全教師：王嚴
一、二次根式
1、一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
二次根式性質：① (a≥0)是乙個非負數②一般地，（）2 =a(a≥0)
a(a≥0)
2、一般地，對二次根式乘法規定：
一般地，對於二次根式除法規定：，
3、最簡二次根式的條件：①被開方數不含字母（被開方數必須為整式或整數）
②被開方數中不含能開得盡方的因式或因數（每個因數或因式的指數都是1）
4、幾個二次根式化成最簡二次根式以後，若被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。
5、二次根式加減時，可先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合併。
二、 一元二次方程
1、等號兩邊都是整式，只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是2的方程，叫一元二次方程。一般形式為（a、b、c為常數，a≠0）。
其中ax2為二次項，a為二次項係數；bx為一次項，b為一次項係數；c為常數項。
2、使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解（根）。
3、解一元二次方程的方法：
①直接開平方法：如：，解得
②配方法 《即將其變為的形式》
※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②將二次項係數化成1；
③把常數項移到方程的右邊；
④兩邊加上一次項係數的一半的平方；
⑤把方程轉化成的形式；
⑥兩邊開方求其根。
③公式法（a、b、c為常數，a≠0）
時，有兩個不相等的實數根，
時，有兩個相等的實數根，
時，方程無實數根。
③分解因式法把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括「提公因式」和「十字相乘」）
※根與係數的關係：當b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數根；
當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；
當b2-4ac<0時，方程無實數根。
※如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有：。
※在利用方程來解應用題時的步驟：①審②設③找④列⑤解，檢驗⑥答
※處理問題的過程可以進一步概括為：
三、旋轉
1、旋**在平面內，將乙個圖形繞乙個定點沿某個方向轉動乙個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。這個定點叫旋轉中心，轉動的角度叫旋轉角。
旋轉的性質：旋轉後的圖形與原圖形的大小和形狀相同；
旋轉前後兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等；
對應點到旋轉中心的連線所成的角度即旋轉角彼此相等。
（例：如圖2所示，點d、e、f分別為點a、b、c的對應點，經過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。）
旋轉3要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。
2、把乙個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另乙個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。這兩個圖形中的對應點叫做關於中心的對應點。
成中心對稱圖形的特點：①關於中心對稱的兩個圖形，對稱點所連的線段都經過對稱中心，且被對稱中心所平分②關於中心對稱的2個圖形是全等圖形③成中心對稱的兩個圖形，其對應線段互相平行（或在一條直線上）且相等。
中心對稱作圖方法：連線原圖形上某一特殊點和對稱中心，再延長，使得特殊點與對稱中心的距離和對稱點與對稱中心的距離相等即可，最後將對稱點按原圖形的形狀連線起來，即可得出成中心對稱的圖形。
3、中心對稱圖形：把乙個圖形繞著某一點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠與原圖形重合，那麼這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
4、兩個點關於原點對稱時，它們的座標符號相反，即點p(x,y)關於原點的對稱點為p′(-x,-y).
三、圓1、圓的定義：
描述性定義：在乙個平面內，線段oa繞它固定的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a隨之旋轉所形成的圓形叫做圓；固定的端點o叫做圓心；線段oa叫做半徑；以點o為圓心的圓，記作⊙o，讀作「圓o」
集合性定義：圓是平面內到定點距離等於定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。
對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；
②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。
2、點與圓的位置關係及其數量特徵：
如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則
①點在圓上 <===> d=r;②點在圓內 <===> d d>r.
其中點在圓上的數量特徵是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與乙個定點、的距離相等。
3、與圓相關的概念：
①弦和直徑： 弦：連線圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑：經過圓心的弦叫做直徑。
②弧、半圓、優弧、劣弧：
弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號「⌒」表示，以cd為端點的弧記為「」，讀作「圓弧cd」或「弧cd」。
半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。
優弧：大於半圓的弧叫做優弧。
劣弧：小於半圓的弧叫做劣弧。(為了區別優弧和劣弧，優弧用三個字母表示。)
③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。
④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。
⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。
⑥等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。
⑦圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.
⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.
4、圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸。
5、垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。
說明：根據垂徑定理與推論可知對於乙個圓和一條直線來說，如果具備：
①過圓心；②垂直於弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧。
上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。
6、定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。
推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等.
7、圓周角的定義:頂點在圓上,並且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.
圓周角定理:一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半.
推論1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；
推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；
8、確定圓的條件:
理解確定乙個圓必須的具備兩個條件:①圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小. ② 經過一點可以作無數個圓,經過兩點也可以作無數個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.
9、經過三點作圓要分兩種情況:
(1) 經過同一直線上的三點不能作圓.
(2)經過不在同一直線上的三點,能且僅能作乙個圓.
定理: 不在同一直線上的三個點確定乙個圓.
10、三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念:
(1)三角形的外接圓和圓的內接三角形: 經過乙個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.
(3)三角形的外心的性質:三角形外心到三頂點的距離相等.
11、直線與圓的位置關係
(1)相交: 直線與圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線.
(2)相切: 直線和圓有惟一公共點時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點做切點.
(3)相離: 直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.
※直線與圓的位置關係的數量特徵:
設⊙o的半徑為r，圓心o到直線的距離為d；
①d 直線l和⊙o相交.②d=r <==> 直線l和⊙o相切.③d>r <==> 直線l和⊙o相離.
12、切線的總判定定理: 經過半徑的外端並且垂直於這個條半徑的直線是圓的切線.
切線的性質定理:圓的切線垂直於過切點的半徑.
推論1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點.
推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心.
※分析性質定理及兩個推論的條件和結論間的關係,可得如下結論:
如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.
①垂直於切線; ②過切點; ③過圓心.
13、三角形的內切圓、內心、圓的外切三角形的概念.
和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,內切圓的圓心叫做三角形的內心, 這個三角形叫做圓的外切三角形.
※三角形內心的性質:
(1)三角形的內心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點和內心的射線平分三角形的內角.
由此性質引出一條重要的輔助線: 連線內心和三角形的頂點,該線平分三角形的這個內角.
14、 圓和圓的位置關係.
(1)外離: 兩個圓沒有公共點,並且每個圓上的點都在另乙個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.
(2)外切: 兩個圓有惟一的公共點,並且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另乙個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.
(3)相交: 兩個圓有兩個公共點,此時叫做這個兩個圓相交.
(4)內切: 兩個圓有惟一的公共點,並且除了這個公共點以外,乙個圓上的都在另乙個圓的內部時,叫做這兩個圓內切.這個惟一的公共點叫做切點.
(5)內含: 兩個圓沒有公共點, 並且乙個圓上的點都在另乙個圓的內部時,叫做這兩個圓內含.兩圓同心是兩圓內的乙個特例.
※兩圓位置關係的性質與判定:
(1)兩圓外離 <===> d>r+r
(2)兩圓外切 <===> d=r+r
(3)兩圓相交 <===> r-r(4)兩圓內切 <===> d=r-r (r>r)
(5)兩圓內含 <===> dr)
※3. 相切兩圓的性質： 如果兩個圓相切,那麼切點一定在連心線上.
※4. 相交兩圓的性質:相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
15、 弧長及扇形的面積
圓周長公式:圓周長c=2r (r表示圓的半徑)
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