一、極限定義、運算法則和一些結果
1．定義：（各種型別的極限的嚴格定義參見《高等數學》函授教材，這裡不一一敘述）。
說明：（1）一些最簡單的數列或函式的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：；；；等等
（2）在後面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。
2．極限運算法則
定理1 已知，都存在，極限值分別為a，b，則下面極限都存在，且有 （1）
（2）（3）
說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。
3．兩個重要極限
（1（2）；
說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式，
作者簡介：靳一東，男，（1964—），副教授。
例如：，，；等等。
4．等價無窮小
定理2 無窮小與有界函式的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。
定理3 當時，下列函式都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：
～～～～～～。
說明：當上面每個函式中的自變數x換成時（），仍有上面的等價
關係成立，例如：當時，～； ～。
定理4 如果函式都是時的無窮小，且～，～，則當存在時，也存在且等於，即=。
5．洛比達法則
定理5 假設當自變數x趨近於某一定值（或無窮大）時，函式和滿足：（1）和的極限都是0或都是無窮大；
（2）和都可導，且的導數不為0；
（3）存在（或是無窮大）；
則極限也一定存在，且等於，即= 。
說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為「」型或「」型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢後可以知道是否滿足。
另外，洛比達法則可以連續使用，但每次使用之前都需要注意條件。
6．連續性
定理6 一切連續函式在其定義去間內的點處都連續，即如果是函式的定義去間內的一點，則有。
7．極限存在準則
定理7（準則1） 單調有界數列必有極限。
定理8（準則2） 已知為三個數列，且滿足：
（1） （2），
則極限一定存在，且極限值也是a ，即。
二、求極限方法舉例
1． 用初等方法變形後，再利用極限運算法則求極限
例1解：原式= 。
注：本題也可以用洛比達法則。
例2解：原式= 。
例3 解：原式。
2． 利用函式的連續性（定理6）求極限
例4 解：因為是函式的乙個連續點，
所以原式= 。
3． 利用兩個重要極限求極限
例5 解：原式= 。
注：本題也可以用洛比達法則。
例6 解：原式= 。
例7 解：原式= 。
4． 利用定理2求極限
例8 解：原式=0 （定理2的結果）。
5． 利用等價無窮小代換（定理4）求極限
例9解：～，～，
原式= 。
例10解：原式= 。
注：下面的解法是錯誤的：
原式= 。
正如下面例題解法錯誤一樣：
。例11解：， 所以， 原式= 。（最後一步用到定理2）
6． 利用洛比達法則求極限
說明：當所求極限中的函式比較複雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續使用。
例12（例4）
解：原式= 。（最後一步用到了重要極限）
例13解：原式= 。
例14解：原式== 。（連續用洛比達法則，最後用重要極限）
例15解：例18
解：錯誤解法：原式= 。
正確解法：
應該注意，洛比達法則並不是總可以用，如下例。
例19解：易見：該極限是「」型，但用洛比達法則後得到：，此極限
不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：
原式= （分子、分母同時除以x）
= （利用定理1和定理2）
7． 利用極限存在準則求極限
例20 已知，求
解：易證：數列單調遞增，且有界（0<<2），由準則1極限存在，設。對已知的遞推公式兩邊求極限，得：
，解得：或（不合題意，捨去）
所以。例21
解： 易見：
因為，所以由準則2得： 。
上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由於不常用，這裡不作介紹。
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