函式四．求函式定義域的常用方法（在研究函式問題時要樹立定義域優先的原則）：
1．根據解析式要求如偶次根式的被開方大於零，分母不能為零，對數中且，三角形中, 最大角，最小角等。如
（1）函式的定義域是____
(答：)；
（2）若函式的定義域為r，則_______
(答：)；
（3）函式的定義域是，，則函式的定義域是
(答：)；
（4）設函式，①若的定義域是r，求實數的取值範圍；②若的值域是r，求實數的取值範圍
（答：①；②）
3．復合函式的定義域：若已知的定義域為,其復合函式的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當於當時，求的值域（即的定義域）。如
（1）若函式的定義域為，則的定義域為
（答：）；
（2）若函式的定義域為，則函式的定義域為________
（答：[1,5]）．
五．求函式值域（最值）的方法：
1．配方法――二次函式（二次函式在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函式的最值問題，勿忘數形結合，注意「兩看」：
一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關係），如
（1）求函式的值域
（答：[4,8]）；
（2）當時，函式在時取得最大值，則的取值範圍是___
（答：）；
（3）已知的圖象過點（2,1），則的值域為______
（答：[2, 5]）
2．換元法――通過換元把乙個較複雜的函式變為簡單易求值域的函式，其函式特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型，如
（1）的值域為_____
（答：）；
（2）的值域為_____
（答：）
（3）的值域為____
（答：）；
（4）的值域為____
（答：）；
3．函式有界性法――直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，來確定所求函式的值域，最常用的就是三角函式的有界性，如
求函式，，的值域
（答：、（0,1）、）；
4．單調性法――利用一次函式，反比例函式，指數函式，對數函式等函式的單調性，如
求，，的值域
（答：、、）；
5．數形結合法――函式解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如
（1）已知點在圓上，求及的取值範圍
（答：、）；
（2）求函式的值域
（答：）；
（3）求函式及的值域
（答：、）
注意：求兩點距離之和時，要將函式式變形，使兩定點在軸的兩側，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在軸的同側。
6．判別式法――對分式函式（分子或分母中有乙個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式後，再利用均值不等式：
①型，可直接用不等式性質，如
求的值域
（答：）
②型，先化簡，再用均值不等式，如
（1）求的值域
（答：）；
（2）求函式的值域
（答：）
③型，通常用判別式法；如
已知函式的定義域為r，值域為[0，2]，求常數的值
（答：）
④型，可用判別式法或均值不等式法，如
求的值域
（答：）
7．不等式法――利用基本不等式求函式的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如
設成等差數列，成等比數列，則的取值範圍是__.
（答：）。
8．導數法――一般適用於高次多項式函式，如
求函式，的最小值。
（答：－48）
提醒：（1）求函式的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？
（2）函式的最值與值域之間有何關係？
六．分段函式的概念。分段函式是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關係的函式，它是一類較特殊的函式。在求分段函式的值時，一定首先要判斷屬於定義域的哪個子集，然後再代相應的關係式；分段函式的值域應是其定義域內不同子集上各關係式的取值範圍的並集。
如（1）設函式，則使得的自變數的取值範圍是__
（答：）；
（2）已知，則不等式的解集_____
（答：）
七．求函式解析式的常用方法：
2．代換（配湊）法――已知形如的表示式，求的表示式。如
（1）已知求的解析式
（答：）；
（2）若，則函式=_____
（答：）；
（3）若函式是定義在r上的奇函式，且當時，，那麼當時
（答：）.
這裡需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。
3．方程的思想――已知條件是含有及另外乙個函式的等式，可抓住等式的特徵對等式的進行賦值，從而得到關於及另外乙個函式的方程組。如
（1）已知，求的解析式
（答：）；
（2）已知是奇函式，是偶函式，且+=,則= _
（答：）。
八．反函式：
1．存在反函式的條件是對於原來函式值域中的任乙個值，都有唯一的值與之對應，故單調函式一定存在反函式，但反之不成立；偶函式只有有反函式；週期函式一定不存在反函式。如
函式在區間[1, 2]上存在反函式的充要條件是
a、 b、 c、 d、
（答：d）
2．求反函式的步驟：①反求；②互換、；③註明反函式的定義域（原來函式的值域）。注意函式的反函式不是，而是。如
設.求的反函式
（答：）．
3．反函式的性質：
①反函式的定義域是原來函式的值域，反函式的值域是原來函式的定義域。如
④互為反函式的兩個函式具有相同的單調性和奇函式性。如
九．函式的奇偶性。
1．具有奇偶性的函式的定義域的特徵：定義域必須關於原點對稱！為此確定函式的奇偶性時，務必先判定函式定義域是否關於原點對稱。如
若函式，為奇函式，其中，則的值是
（答：0）；
2．確定函式奇偶性的常用方法（若所給函式的解析式較為複雜，應先化簡，再判斷其奇偶性）：
①定義法：如判斷函式的奇偶性____（答：奇函式）。
②利用函式奇偶性定義的等價形式：或（）。如
判斷的奇偶性___.（答：偶函式）
③影象法：奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於軸對稱。
3．函式奇偶性的性質：
①奇函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.
②如果奇函式有反函式，那麼其反函式一定還是奇函式.
③若為偶函式，則.如
若定義在r上的偶函式在上是減函式，且=2，則不等式的解集為______.
（答：）
④若奇函式定義域中含有0，則必有.故是為奇函式的既不充分也不必要條件。如
若為奇函式，則實數＝____（答：1）.
⑤定義在關於原點對稱區間上的任意乙個函式，都可表示成「乙個奇函式與乙個偶函式的和（或差）」。如
設是定義域為r的任一函式，，。①判斷與的奇偶性； ②若將函式，表示成乙個奇函式和乙個偶函式之和，則＝____
（答：①為偶函式，為奇函式；②＝）
⑥復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」.
⑦既奇又偶函式有無窮多個（，定義域是關於原點對稱的任意乙個數集）.
十．函式的單調性。
1．確定函式的單調性或單調區間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號）、導數法（在區間內，若總有，則為增函式；反之，若在區間內為增函式，則，請注意兩者的區別所在。如
已知函式在區間上是增函式，則的取值範圍是____
(答：）)；
②在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意
型函式的圖象和單調性在解題中的運用：增區間為，減區間為.如
（1）若函式在區間（－∞，4] 上是減函式，那麼實數的取值範圍是______
(答：）)；
（2）已知函式在區間上為增函式，則實數的取值範圍_____
（答：）；
（3）若函式的值域為r，則實數的取值範圍是______
(答：且）)；
③復合函式法：復合函式單調性的特點是同增異減，如
函式的單調遞增區間是________
(答：（1,2）)。
2．特別提醒：求單調區間時，一是勿忘定義域，如若函式在區間上為減函式，求的取值範圍（答：）；二是在多個單調區間之間不一定能新增符號「」和「或」；三是單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示．
3．你注意到函式單調性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大小；②解不等式；③求引數範圍）.如已知奇函式是定義在上的減函式,若，求實數的取值範圍。（答：）
十一．常見的圖象變換
1．函式的圖象是把函式的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如
設的影象與的影象關於直線對稱，的影象由的影象向右平移1個單位得到，則為
(答：)
2．函式(的圖象是把函式的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如
（1）若，則函式的最小值為____
(答：2)；
（2）要得到的影象，只需作關於_____軸對稱的影象，再向____平移3個單位而得到
(答：；右)；
（3）函式的圖象與軸的交點個數有____個
(答：2)
3．函式+的圖象是把函式助圖象沿軸向上平移個單位得到的；
4．函式+的圖象是把函式助圖象沿軸向下平移個單位得到的；如
將函式的圖象向右平移2個單位後又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關於直線對稱,那麼
(答：c)
5．函式的圖象是把函式的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如
（1）將函式的影象上所有點的橫座標變為原來的（縱座標不變），再將此影象沿軸方向向左平移2個單位，所得影象對應的函式為_____
(答：)；
（2）如若函式是偶函式，則函式的對稱軸方程是_______
(答：)．
6．函式的圖象是把函式的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.
十二．函式的對稱性。
1．滿足條件的函式的圖象關於直線對稱。如
已知二次函式滿足條件且方程有等根，則＝_____
(答：)；
2．點關於軸的對稱點為；函式關於軸的對稱曲線方程為；
3．點關於軸的對稱點為；函式關於軸的對稱曲線方程為；
4．點關於原點的對稱點為；函式關於原點的對稱曲線方程為；
5．點關於直線的對稱點為；曲線關於直線的對稱曲線的方程為。特別地，點關於直線的對稱點為；曲線關於直線的對稱曲線的方程為
；點關於直線的對稱點為；曲線關於直線的對稱曲線的方程為。如
己知函式,若的影象是,它關於直線對稱影象是關於原點對稱的影象為對應的函式解析式是
（答：）；
6．曲線關於點的對稱曲線的方程為。如
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