10.函式的單調性。
（1）確定函式的單調性或單調區間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號）、導數法（在區間內，若總有，則為增函式；反之，若在區間內為增函式，則，請注意兩者的區別所在。如已知函式在區間上是增函式，則的取值範圍是____(答：
）)；②在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意
型函式的圖象和單調性在解題中的運用：增區間為，減區間為.如（1）若函式在區間（－∞，4] 上是減函式，那麼實數的取值範圍是______(答：
）)；（2）已知函式在區間上為增函式，則實數的取值範圍_____（答：）；（3）若函式的值域為r，則實數的取值範圍是______(答：且）)；
③復合函式法：復合函式單調性的特點是同增異減，如函式的單調遞增區間是________(答：（1,2）)。
（2）特別提醒：求單調區間時，一是勿忘定義域，如若函式在區間上為減函式，求的取值範圍（答：）；二是在多個單調區間之間不一定能新增符號「」和「或」；三是單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函式單調性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大小；②解不等式；③求引數範圍）.如已知奇函式是定義在上的減函式,若，求實數的取值範圍。（答：）
11. 常見的圖象變換
①函式的圖象是把函式的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如設的影象與的影象關於直線對稱，的影象由的影象向右平移1個單位得到，則為答：)
②函式(的圖象是把函式的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如（1）若，則函式的最小值為____(答：2)；（2）要得到的影象，只需作關於_____軸對稱的影象，再向____平移3個單位而得到(答：
；右)；（3）函式的圖象與軸的交點個數有____個(答：2)
③函式+的圖象是把函式助圖象沿軸向上平移個單位得到的；
④函式+的圖象是把函式助圖象沿軸向下平移個單位得到的；如將函式的圖象向右平移2個單位後又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關於直線對稱,那麼答：c)
⑤函式的圖象是把函式的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如（1）將函式的影象上所有點的橫座標變為原來的（縱座標不變），再將此影象沿軸方向向左平移2個單位，所得影象對應的函式為_____(答：)；（2）如若函式是偶函式，則函式的對稱軸方程是_______(答：
)．⑥函式的圖象是把函式的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.
12. 函式的對稱性。
①滿足條件的函式的圖象關於直線對稱。如已知二次函式滿足條件且方程有等根，則＝_____(答：)；
②點關於軸的對稱點為；函式關於軸的對稱曲線方程為；
③點關於軸的對稱點為；函式關於軸的對稱曲線方程為；
④點關於原點的對稱點為；函式關於原點的對稱曲線方程為；
⑤點關於直線的對稱點為；曲線關於直線的對稱曲線的方程為。特別地，點關於直線的對稱點為；曲線關於直線的對稱曲線的方程為
；點關於直線的對稱點為；曲線關於直線的對稱曲線的方程為。如己知函式,若的影象是,它關於直線對稱影象是關於原點對稱的影象為對應的函式解析式是答：）；
⑥曲線關於點的對稱曲線的方程為。如若函式與的圖象關於點（-2，3）對稱，則＝______（答：）
⑦形如的影象是雙曲線，其兩漸近線分別直線
(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的係數確定)，對稱中心是點。如已知函式圖象與關於直線對稱，且圖象關於點（2，－3）對稱，則a的值為______（答：2）
⑧的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關於軸的對稱圖形，然後擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然後作出軸右方的圖象關於軸的對稱圖形得到。如（1）作出函式及的圖象；（2）若函式是定義在r上的奇函式，則函式的圖象關於____對稱 （答：軸）
提醒：（1）從結論②③④⑤⑥可看出，求對稱曲線方程的問題，實質上是利用代入法轉化為求點的對稱問題；（2）證明函式影象的對稱性，即證明影象上任一點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在影象上；（3）證明影象與的對稱性，需證兩方面：①證明上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上；②證明上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上。
如（1）已知函式。求證：函式的影象關於點成中心對稱圖形；（2）設曲線c的方程是,將c沿軸,軸正方向分別平行移動單位長度後得曲線。
①寫出曲線的方程（答：）；②證明曲線c與關於點對稱。
13. 函式的週期性。
（1）模擬「三角函式影象」得：
①若影象有兩條對稱軸，則必是週期函式，且一週期為；
②若影象有兩個對稱中心，則是週期函式，且一週期為；
③如果函式的影象有乙個對稱中心和一條對稱軸，則函式必是週期函式，且一週期為；
如已知定義在上的函式是以2為週期的奇函式，則方程在上至少有個實數根（答：5）
（2）由週期函式的定義「函式滿足，則是週期為的週期函式」得：
①函式滿足，則是週期為2的週期函式；
②若恒成立，則；
③若恒成立，則.
如(1) 設是上的奇函式，，當時，，則等於_____(答：)；(2)定義在上的偶函式滿足，且在上是減函式，若是銳角三角形的兩個內角，則的大小關係為答：)；（3）已知是偶函式，且=993， =是奇函式，求的值(答：
993)；（4）設是定義域為r的函式，且，又，則答：)
14.指數式、對數式：
如（1）的值為________(答：8)；（2）的值為________(答：)
15. 指數、對數值的大小比較：（1）化同底後利用函式的單調性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；（4）化同指數（或同真數）後利用圖象比較。
16. 函式的應用。（1）求解數學應用題的一般步驟：
①審題――認真讀題，確切理解題意，明確問題的實際背景，尋找各量之間的記憶體聯絡；②建模――通過抽象概括，將實際問題轉化為相應的數學問題，別忘了注上符合實際意義的定義域；③解模――求解所得的數學問題；④回歸――將所解得的數學結果，回歸到實際問題中去。（2）常見的函式模型有：①建立一次函式或二次函式模型；②建立分段函式模型；③建立指數函式模型；④建立型。
17. 抽象函式：抽象函式通常是指沒有給出函式的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函式的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等）的函式問題。求解抽象函式問題的常用方法是：
（1）借鑑模型函式進行模擬**。幾類常見的抽象函式 ：
①正比例函式型
②冪函式型
③指數函式型
④對數函式型
⑤三角函式型： -----。如已知是定義在r上的奇函式，且為週期函式，若它的最小正週期為t，則____（答：0）
（2）利用函式的性質（如奇偶性、單調性、週期性、對稱性等）進行演繹**：如（1）設函式表示除以3的餘數，則對任意的，都有 a、b、c、d、（答：a）；（2）設是定義在實數集r上的函式，且滿足，如果，，求（答：
1）；（3）如設是定義在上的奇函式，且，證明：直線是函式圖象的一條對稱軸；（4）已知定義域為的函式滿足，且當時，單調遞增。如果，且，則的值的符號是____（答：
負數）（3）利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯**。如（1）若，滿足
，則的奇偶性是______（答：奇函式）；（2）若，滿足
，則的奇偶性是______（答：偶函式）；（3）已知是定義在上的奇函式，當時，的影象如右圖所示，那麼不等式的解集是答：）；（4）設的定義域為，對任意，都有，且時，，又，①求證為減函式；②解不等式.
（答：）．
概念方法題型易誤點及應試技巧總結
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