二、函式
1.對映: ab的概念。
在理解對映概念時要注意：⑴a中元素必須都有象且唯一；⑵b中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）設是集合到的對映，下列說法正確的是 a、中每乙個元素在中必有象 b、中每乙個元素在中必有原象 c、中每乙個元素在中的原象是唯一的 d、是中所在元素的象的集合（答：
a）；（2）點在對映的作用下的象是，則在作用下點的原象為點________（答：（2，－1））；（3）若，，，則到的對映有個，到的對映有個，到的函式有個（答：81,64,81）；（4）設集合，對映滿足條件「對任意的，是奇數」，這樣的對映有____個（答：
12）；（5）設是集合a到集合b的對映，若b=，則一定是_____（答：或）.
2.函式: ab是特殊的對映。
特殊在定義域a和值域b都是非空數集！據此可知函式影象與軸的垂線至多有乙個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。如（1）已知函式，，那麼集合中所含元素的個數有個（答：
0或1）；（2）若函式的定義域、值域都是閉區間，則＝ （答：2）
3. 同一函式的概念。構成函式的三要素是定義域，值域和對應法則。
而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函式的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函式。如若一系列函式的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函式為「天一函式」，那麼解析式為，值域為的「天一函式」共有______個（答：9）
4. 求函式定義域的常用方法（在研究函式問題時要樹立定義域優先的原則）：
（1）根據解析式要求如偶次根式的被開方大於零，分母不能為零，對數中且，三角形中, 最大角，最小角等。如（1）函式的定義域是____(答：)；（2）若函式的定義域為r，則_______(答：
)；（3）函式的定義域是，，則函式的定義域是答：)；（4）設函式，①若的定義域是r，求實數的取值範圍；②若的值域是r，求實數的取值範圍（答：①；②）
（2）根據實際問題的要求確定自變數的範圍。
（3）復合函式的定義域：若已知的定義域為,其復合函式的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當於當時，求的值域（即的定義域）。如（1）若函式的定義域為，則的定義域為答：
）；（2）若函式的定義域為，則函式的定義域為________（答：[1,5]）．
5.求函式值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函式（二次函式在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函式的最值問題，勿忘數形結合，注意「兩看」：
一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關係），如（1）求函式的值域（答：[4,8]）；（2）當時，函式在時取得最大值，則的取值範圍是___（答：）；（3）已知的圖象過點（2,1），則的值域為______（答：
[2, 5]）
（2）換元法――通過換元把乙個較複雜的函式變為簡單易求值域的函式，其函式特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型，如（1）的值域為_____（答：）；（2）的值域為_____（答：）（令，。
運用換元法時，要特別要注意新元的範圍）；（3）的值域為____（答：）；（4）的值域為____（答：）；
（3）函式有界性法――直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，來確定所求函式的值域，最常用的就是三角函式的有界性，如求函式，，的值域（答：、（0,1）、）；
（4）單調性法――利用一次函式，反比例函式，指數函式，對數函式等函式的單調性，如求，，的值域為______（答：、、）；
（5）數形結合法――函式解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如（1）已知點在圓上，求及的取值範圍（答：、）；（2）求函式的值域（答：）；（3）求函式及的值域（答：
、）注意：求兩點距離之和時，要將函式式變形，使兩定點在軸的兩側，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在軸的同側。
（6）判別式法――對分式函式（分子或分母中有乙個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式後，再利用均值不等式：
①型，可直接用不等式性質，如求的值域（答：）
②型，先化簡，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函式的值域（答：）
③型，通常用判別式法；如已知函式的定義域為r，值域為[0，2]，求常數的值（答：）
④型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域（答：）
（7）不等式法――利用基本不等式求函式的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如設成等差數列，成等比數列，則的取值範圍是答：）。
（8）導數法――一般適用於高次多項式函式，如求函式，的最小值。（答：－48）
提醒：（1）求函式的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函式的最值與值域之間有何關係？
6.分段函式的概念。分段函式是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關係的函式，它是一類較特殊的函式。
在求分段函式的值時，一定首先要判斷屬於定義域的哪個子集，然後再代相應的關係式；分段函式的值域應是其定義域內不同子集上各關係式的取值範圍的並集。如（1）設函式，則使得的自變數的取值範圍是答：）；（2）已知，則不等式的解集是________（答：
）7.求函式解析式的常用方法：
（1）待定係數法――已知所求函式的型別（二次函式的表達形式有三種：一般式：；頂點式：
；零點式：，要會根據已知條件的特點，靈活地選用二次函式的表達形式）。如已知為二次函式，且，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。
（答：）
（2）代換（配湊）法――已知形如的表示式，求的表示式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，則函式=_____（答：
）；（3）若函式是定義在r上的奇函式，且當時，，那麼當時答：）. 這裡需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。
（3）方程的思想――已知條件是含有及另外乙個函式的等式，可抓住等式的特徵對等式的進行賦值，從而得到關於及另外乙個函式的方程組。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函式，是偶函式，且+=,則答：
）。8. 反函式：
（1）存在反函式的條件是對於原來函式值域中的任乙個值，都有唯一的值與之對應，故單調函式一定存在反函式，但反之不成立；偶函式只有有反函式；週期函式一定不存在反函式。如函式在區間[1, 2]上存在反函式的充要條件是a、 b、 c、 d、 （答：d）
（2）求反函式的步驟：①反求；②互換、；③註明反函式的定義域（原來函式的值域）。注意函式的反函式不是，而是。如設.求的反函式（答：）．
（3）反函式的性質：
①反函式的定義域是原來函式的值域，反函式的值域是原來函式的定義域。如單調遞增函式滿足條件= x ，其中≠ 0 ，若的反函式的定義域為，則的定義域是答：[4,7]）.
②函式的圖象與其反函式的圖象關於直線對稱，注意函式的圖象與的圖象相同。如（1）已知函式的圖象過點(1,1),那麼的反函式的圖象一定經過點_____（答：（1,3））；（2）已知函式，若函式與的圖象關於直線對稱，求的值（答：
）；③。如（1）已知函式，則方程的解______（答：1）；（2）設函式f(x)的圖象關於點（1,2）對稱，且存在反函式，f (4)＝0，則＝ （答：－2）
④互為反函式的兩個函式具有相同的單調性和奇函式性。如已知是上的增函式，點在它的圖象上，是它的反函式，那麼不等式的解集為________（答：（2,8））；
⑤設的定義域為a，值域為b，則有，
，但。9.函式的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函式的定義域的特徵：定義域必須關於原點對稱！為此確定函式的奇偶性時，務必先判定函式定義域是否關於原點對稱。如若函式，
為奇函式，其中，則的值是 （答：0）；
（2）確定函式奇偶性的常用方法（若所給函式的解析式較為複雜，應先化簡，再判斷其奇偶性）：
①定義法：如判斷函式的奇偶性____（答：奇函式）。
②利用函式奇偶性定義的等價形式：或（）。如判斷的奇偶性___.（答：偶函式）
③影象法：奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於軸對稱。
（3）函式奇偶性的性質：
①奇函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.
②如果奇函式有反函式，那麼其反函式一定還是奇函式.
③若為偶函式，則.如若定義在r上的偶函式在上是減函式，且=2，則不等式的解集為______.（答：）
④若奇函式定義域中含有0，則必有.故是為奇函式的既不充分也不必要條件。如若為奇函式，則實數＝____（答：1）.
⑤定義在關於原點對稱區間上的任意乙個函式，都可表示成「乙個奇函式與乙個偶函式的和（或差）」。如設是定義域為r的任一函式，，。①判斷與的奇偶性； ②若將函式，表示成乙個奇函式和乙個偶函式之和，則＝____（答：
①為偶函式，為奇函式；②＝）
⑥復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」.
⑦既奇又偶函式有無窮多個（，定義域是關於原點對稱的任意乙個數集）.
10.函式的單調性。
（1）確定函式的單調性或單調區間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號）、導數法（在區間內，若總有，則為增函式；反之，若在區間內為增函式，則，請注意兩者的區別所在。如已知函式在區間上是增函式，則的取值範圍是____(答：
）)；②在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意
型函式的圖象和單調性在解題中的運用：增區間為，減區間為.如（1）若函式在區間（－∞，4] 上是減函式，那麼實數的取值範圍是______(答：
）)；（2）已知函式在區間上為增函式，則實數的取值範圍_____（答：）；（3）若函式的值域為r，則實數的取值範圍是______(答：且）)；
概念方法題型易誤點及應試技巧總結
不等式一 不等式的性質 1 同向不等式可以相加 異向不等式可以相減 若，則 若，則 但異向不等式不可以相加 同向不等式不可以相減 2 左右同正不等式 同向的不等式可以相乘，但不能相除 異向不等式可以相除，但不能相乘 若，則 若，則 3 左右同正不等式 兩邊可以同時乘方或開方 若，則或 4 若，則 若...
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