一．株洲最近五年中考試題情況：
二．株洲最近五年中考試題：
1．（2023年株洲）（10分）如圖，一次函式分別交y軸、x 軸於a、b兩點，拋物線過a、b兩點。
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線ab於m，交這個拋物線於n。求當t 取何值時，mn有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以a、m、n、d為頂點作平行四邊形，求第四個頂點d的座標。
2．（2023年株洲）（10分）孔明是乙個喜歡**鑽研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線的性質時，將一把直角三角板的直角頂點置於平面直角座標系的原點，兩直角邊與該拋物線交於、兩點，請解答以下問題：
（1）若測得（如圖1），求的值；
（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點旋轉到如圖2所示位置時，過作軸於點，測得，寫出此時點的座標，並求點的橫座標；
（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點旋轉任意角度時驚奇地發現，交點、的連線段總經過乙個固定的點，試說明理由並求出該點的座標．
3．（2023年株洲）（10分）在平面直角座標系中，拋物線過原點o，且與軸交於另一點，其頂點為．孔明同學用一把寬為帶刻度的矩形直尺對拋物線進行如下測量：
① 量得；
② 把直尺的左邊與拋物線的對稱軸重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合（如圖1），測得拋物線與直尺右邊的交點的刻度讀數為．
請完成下列問題：
（1）寫出拋物線的對稱軸；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將圖中的直尺（足夠長）沿水平方向向右平移到點的右邊（如圖2），直尺的兩邊交軸於點、，交拋物線於點、．求證：．
4．（2023年株洲）（12分）如圖，已知為直角三角形，，,點、在軸上，點座標為（，）（），線段與軸相交於點，以（1，0）為頂點的拋物線過點、．
（1）求點的座標（用表示）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設點為拋物線上點至點之間的一動點，鏈結並延長交於點，鏈結並延長交於點，試證明：為定值．
5．（2023年株洲）（10分）如圖（1），在平面直角座標系中，點a的座標為（1，-2），點b的座標為（3，-1），二次函式的圖象為.
（1）平移拋物線，使平移後的拋物線過點a，但不過點b，寫出平移後的拋物線的乙個解析式（任寫乙個即可）.
（2）平移拋物線，使平移後的拋物線過a、b兩點，記拋物線為，如圖（2），求拋物線的函式解析式及頂點c的座標.
（3）設p為y軸上一點，且，求點p的座標.
（4）請在圖（2）上用尺規作圖的方式**拋物線上是否存在點q，使為等腰三角形. 若存在，請判斷點q共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由.
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